Вопрос 6 Неопределенный интеграл и основные методы интегрирования.

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f (х) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная

ее производную F'(x) = f(x) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x).Функция F(x) назпервообразной функцией f(x) на нек. промежутке х, если для всех значений х этого промежутка выполняется след. условие: .Н: первообразной fy=x^2=F(x)=x^3/3. Т-ма. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (а; Ь), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x) + С, где С — постоянное число. Неопределённый интегра́л от функции F(x)+C для f(x) — это множество всехпервообразных данной функции.Если функция   определена и непрерывна на промежутке   и   — её первообразная, т.е.   при  , то

  , С-const.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство ≪параллельных≫ кривых у = F(x) + С (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства) График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Свойства неопределенного интеграла: 1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:

2.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3/ Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме самой этой функции и произвольной постоянной:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

5. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:

Если   , то 

Основные методы интегрирования:1. метод непосредственного интегрирования- метод вычисления интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов. 2. метод подстановки(м. замены переменных)-Метод нтегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае ≪удачной≫ подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует./интегралы сводятся к табличным и далее выполняется интегрирование.3. - Пусть и = и(х) и v = v(x) — функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv) = и ■ dv + v ■ du. Интегрируя это равенство,

получим метод по частям-основан на использовании формулы: . формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла

J и dvк вычислению интеграла j vdu, который может оказаться существенно более простым, чем исходный. Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и иdv(это, как правило, можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.

В опрос 7: Определенный интеграл.

Пусть на отрезке [ab] дана непрерывная функция y=f(x). Необходимо найти площадь криволинейной трапеции (криволинейная трапеция- часть плоскости, заключенная между графиком функции, осью ОХ и вертикальными прямыми х=а и х=b)

1. Разобьем отрезок [ab] на n отрезков точками xo=a , x1 , x2 …….. x n=b . Длина каждого из отрезков будет равна: ∆x= - x1,…., ∆ = . Внутри каждого отрезка разбиения возьмем точки , …. и вычислим значения функции в этих точках: f( ), f( ),….., f( ). Составим сумму площадей полученных прямоугольников: . Данная сумма назинтегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a,b] и представляет собой сумму площадей всех прямоугольников и, след, приближенно выражает площадь криволинейной трапеции, и тем точнее, чем больше число участков разбиения и чем меньше длина каждого из них. Определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы (1), когда число участков разбиения стремится к бесконечности, а длина каждого из них стремится к нулю: . Где a и b называются пределами интегрирования, причем а – нижний предел интегрирования, а b – верхний предел интегрирования. Геометрический смысл определенного интеграла- Если функция y=f(x) непрерывна и положительна на некотором отрезке [a;b], то интеграл  равен площади криволинейной трапеции, к. ограничена осью абсцисс, графиком функции y=f(x)   и вертикальными прямыми x=a  и x=b. .  Физ. смысл определенного интеграла- пусть некоторая материальная точка M перемещается под действием силы F=F(x), к. направлена вдоль оси абсцисс (здесь x – абсцисса движущейся точки M).Работа переменной силы F, величина к. есть непрерывная функция F=F(x), действующей на отрезке [a;b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по этому отрезку: Св-ваопред. инт: 1. const выносится за знак интеграла. 2. определ. интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования. 3. Если пределы интегрирования одинаковы, то интеграл =0. 4.Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций. 5. Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования. 6.Определенный интеграл от неположительной функции всегда меньше или равен нулю. (Теорема существования определенного интеграла). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] , то интеграл от этой функции на данном отрезке существует. Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на интервале [a;b] и F(x) явл ее первообразной, то определенный интеграл от функции f(x) на [a;b] = разности значений первообразной по верхнему и нижнему пределам интегрирования, т.е. наз формулой Ньютона-Лейбница.

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий.

• Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным интервалом  .

• Функция   является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал   конечный, и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает с значением определённого интеграла.