Вопрос 5 Дифференцируемость функции, производная, дифференциал.

Задачи, приводящие к понятию производной

Задача о скорости. Пусть материальная точка М движется неравномерно по нек. прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ = S до некоторой фиксированной

точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t). Это равенство наззаконом движения точки. необходимо найти движения точки. Если в некоторый момент времени t

точка занимает положение М, то в момент времени t + точка займет положение М1, где ОМ1 =

= S + S. т.о., перемещениеточки М за время t будет S =S(t + t) - S(t).  за промежуток времени   определяется отношением пройденного пути ко времени. Предел движения при t наз скоростью движения точки в данный момент времени ( Обозначив эту скорость через V, получим: .

К нахождению пределов приводят решения и множества других задач. Можно показать, что:-

Пределы имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной.

Задача о плотности стержня. Пусть дан тонкий прямолинейный неоднородный стержень длиной l. Определим плотность стержня в любой его точке. Пусть стержень расположен на оси Ox, причем один из его концов совпадает с началом координат. Тогда каждой точке стержня соответствует определенная координата x. Обозначим через m массу отрезка стержня между точками с координатами 0 и х. Ясно, что m явлf  . Рассмотрим две точки стержня: фиксированную точку    и переменную точку   Отрезок стержня, расположенный между этими точками, имеет длину   и массу  . Отношение наз средней плотностью стержня на отрезке от точки  до точки  Плотностью стержня в точке   наз предел средней плотности, когда длина отрезка стремится к нулю:Данные задачи, несмотря на их различное физ. содержание, привели к нахождению предела одного и того же вида — пределу отношения приращения функции к приращению аргумента. т.е. Производной   от функции   в точке   назпредел отношения приращения функции   к приращению аргумента   когда приращение аргумента  . Приращением аргумента назразность между двумя значениями аргумента: "новым" и "старым"  . Приращением функции   в точке  , соответствующее приращению аргумента  , наз величина: . Производная функции f(x) есть некоторая f , произведенная из данной f.Геометрический смысл производной: явл угловым коэффициентом касательной к графику функции y=f(x)в точке с абсциссой имеет вид Угловой K прямой равен tg угла, образованного этой прямой с "+" направлением оси Ох. Механический смысл производной: Пусть S=S(t) – уравнение зависимости пути от времени при движении тела. Тогда – скорость движения этого тела в момент времени t. -ускорение движущегося тела в момент времени t.

Функция у = f(x) имеющая производную в каждой точке интервала (а;b), наздифференцируемойв этом интервале и операция нахождения производной функции наздифференцированием этой функции. Функция   имеет производную на интервале   или наз дифференцируемой в этом интервале, если производная   сущ-ет в каждой точке этого интервала.

Функция   имеет в точке   бесконечную производную, если в этой точке   .Теорема (О необходимом и достаточном условии дифференцируемости)

Для того чтобы функция   была дифференцируемой в точке  , необходимо и достаточно, чтобы   имела в этой точке конечную производную.Дифференциалом функции называется линейная относительно   часть приращения функции. Она обозначается как   или  . Таким образом:

Замечание Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента: Замечание Формулу для дифференциала функции можно записать в виде: . Отсюда получаем, что Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента. Геом. смысл дифференциала -Дифференциал функции в точке   равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента  .

Правила дифференцирования: 1. Если функции дифференцируемы в данной точке х, то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: .2. Если функции дифференцируемы в данной точке х, то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по след. фор.: . Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h(x) = f(x)/g(x). Для такой функции тоже можно найти производную:

Пусть у = f(u) и y= тогда y= — сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х. Теорема: . Если функция y= имеет производную и'хв точке

х, а функция у = f(u) имеет производную у'ив соответствующей точке u= , то сложная функция у = y= имеет производную у'хв точке х, которая находится по формуле у'х = у'и и'х.

Д/ нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по

независимому аргументу. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у = f(u), u= , v = g(x), то . Пусть у = f(x) и х = ) — взаимно обратные функции.Теорема: Если функция у = f(x) строго монотонна на интервале(a; b) и имеет неравную нулю производную f'(x) в произвольнойточке этого интервала, то обратная ей функция х = ) также имеет

производную '(у) в соответствующей точке, определяемую равенством или

Т.О производная обратной функции равнаобратной величине производной данной функции. Правило дифференцирования обратной функции: . Производные основных элементарных функций: 1) степенная( 2)показательная . 3) логарифмическая . 4) тригонометрическая- и обратные тригонометрические

Основными теоремами дифференциального исчисленияявл лемма Ферма и теорема РолляТ: Ролля- Если ff(x) непрерывна на отрезке [а;в], дифференцируема на интервале (a;b) ии на концах отрезка принимает один.значенияf(a)=f(b), то найдется хотя бы одна точка с принадлеж. (а;в), в к. производная обращается в ноль.Если функция задана уравнением у = f(x), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).Под неявным заданием функции понимают задание функции ввиде уравнения F(x; у) = 0, не разрешенного относительно у. Если неявная функция задана уравнением F(x; у) = 0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая, при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'. Производная неявной функции выражается через аргумент х и

функцию у.Так как функция /(ж) непрерывна на отрезке [а; 6], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений соответственно, М и m . Если М = т, то функция /(ж)

постоянна на [a; b] и, след, ее производная f'(x) = 0 в любой точке отрезка [а, в].Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции у = f(x) найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох Т.Коши-Если функции f(х ) и фи(x) непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (а; b), причем для х € (а; b), то найдется хотя бы одна точка на интервале . Т. Лагранджа-если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале, то найдется х.б. 1 точка с, такая, что выполняется условие-