Вопрос 3. Предел последовательности, предел функции.

Под числовой последовательностью понимается функция заданная на множестве N натуральных чисел. Число наз 1м членом (элементом) последовательности, — общим или п-м членом последовательности. Последовательность { } назограниченной, если существует такое число М > 0, что для любого п N выполняется

неравенство . Последовательность { } назвозрастающей (неубывающей),если для любою п выполняется неравенство . Все эти последовательности назмонотонными последовательностями. Если все элементы последовательности { }равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной. Другой способ задания числовых последовательностей рекуррентный способ. В нем задается начальный элемент и правило определения n-го элемента по(п - 1)-му: .Число а называется пределом последовательности {хп}, если для любого "+"числа найдется такое натуральное число N, что при всех п > N выполняется неравенство . В этом случае говорят, что последовательность {хп} имеет предел, равный числу а (или хпстремитсяк а). Сходящаяся последовательность имеет только 1 предел. Последовательность, не имеющая предел назрасходящейся. Всякая монотонно ограниченная последовательность имеет предел.

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки Хо, кроме, быть может, самой точки Хо. Сущ-ет 2 определения предела функции в точке, эквивалентных между собой: 1 по Гейне: Число А называется пределом функции у = f(x) в точке хо (или при х —≫Хо), если для любой последовательности допустимых значений аргумента хп, п принадл. N сходящейся к х0 (т. е.

limхп= хо), последовательность соответствующих значений функции f (xn), п приналд. N, сходится к числу А (т. е. . Геом. смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке хо, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А. По Коши- Число А назпределом функции в точке хо если для любого "+" е найдется такое положительное число , что для всех х Хо, удовлетворяющих неравенству , выполняетсянеравенство . Геом. смысл: точки графика функции у = f(x) лежат внутри полосы шириной 2 , ограниченнойпрямыми у = А + , у = А — . В определении предела функции : считается, что х стрем.кхо любым способом: оставаясь меньшим или большим, чем х0 или колеблясь около точки Х0. Иногда, когда способ приближения аргумента х к Хо существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов - Число А назпределом функции у = f(x) слевав точке хо, если для любого число е > 0 существует число = (e) > 0такое, что при выполняется неравенство |f(х) — \<е. Предел слева записывают так: . Предел fсправа: . Пределы f слева и справа назодносторонними.

ББФ. Функция назбесконечно большой при ,если для любого числа М > 0 сущ-ет число = (М) > 0, что для всех х, удовлет. неравенству 0 < | | < , выполняется

неравенство \f(x)\ > М. Записывают = . БМФ- f назбесконечно малой при ,если = .

Д/того, чтобы показать связь между f, ее пределом и БМФ используем след. теоремы: 1.- Если f имеет предел, = А, то ее можно представить как сумму числа А и БМФ , т.е. если = , то f(x)=A+ . 2.(обратная)-Если функцию можно представить в виде суммы числа А и БМФ , то число А явля пределом функции f(x), т. е. еслиf(x)=A+ , то

= . Сущ-ют теоремы, к. облегчают нахождение пределов f: 1. Предел суммы (разности) 2х функций = сумме/разности их пределов: . 2.Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: : . 3.Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю. Признаки сущ-я пределов: 1) (о пределе промежуточной функции). Если fy=f(x) заключена между двумя функциями фи{х) и g{х), стремящимисяк одному и тому же пределу, то она также стремится к этомупределу. 2) (о пределе монотонной функции). Если функция f(x) монотонна и ограничена при х <хо или при х >жо, то существует соответственно ее левый предел limf(x) = /(жо — 0) или ее правый предел limf(x) = f (x о + 0).

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел называемый первым замечательным пределом. . - предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент к нулю. Равенства и наз2м замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов.

В приложениях анализа большую роль играет показательнаяфункция с основанием е.