Вопрос 2. Функции и их свойства.

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств. Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие ƒ, к. каждому элементу х X сопоставляет один и только один элемент у  Y, называется функцией и записывается у=ƒ(х), х  X или ƒ: X→Y. Говорят еще, что функция ƒ отображает множество X на множество Y.Множество X называется областью определения функции ƒ и обозначается D(f). Множество всех уÎY называется множеством значений функции ƒ и обозначается Е(ƒ).Числовые функции. График функции. Способы задания функций. Пусть задана функция ƒ : X Y.Если элементами множеств X и Y являются действительные числа (т. е. X  R и Y  R), то функцию ƒ называют числовой функцией. Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а у — функцией или зависимой переменной (от х). Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у=у(х), не вводя новой буквы (ƒ) для обозначения зависимости.Графиком функции у=(х) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой на которых х является значением аргумента, а у — соответствующим значением функции.Чтобы задать функцию у=ƒ(х), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у. наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический, рекурсивный, словесный.Аналитический способ: f задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.Если область определения функции у = ƒ(х) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.Графический способ: задается график функции. "+" графического задания является его наглядность, "-" — его неточность.Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюденийРекурсивный способ– т.е через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения. н: факториал.Основные характеристики функции1. Функция у=ƒ(х), определенная на множестве D, называется четной, если для всех x  D выполняются условия -х D и ƒ(-х)=ƒ(х); нечетной, если для всех x D выполняются условия -х D и ƒ(-х)=-ƒ(х).

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной — относительно начала координат.Н: у=х², у=√(1+х²), у=ln|х| — четные функции; а у=sinx, у=х³ — нечетные функции; у=х-1, у=√x — функции общего вида, т. е. не четные и не нечетные.2.  Пусть функция у=ƒ(х) определена на множестве D и пусть D ₁ D. Если для любых значений х ₁;x₂єD₁ аргументов из неравенства x₁<x₂ вытекает неравенство: ƒ(x ₁)<ƒ(х₂), то функция называется возрастающей на множестве D ₁; f(x₁) ≤ ƒ(х₂), то функция называется неубывающей на множестве D₁; f(x₁)>ƒ(х₂), то функция называется убывающей на множестве D₁; ƒ(х₁)≥ƒ(x₂), то функция называется невозрастающей на множестве D₁.Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве D1 назмонотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, назинтервалами монотонности. 3. Функцию у=ƒ(х), определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число М>0, что для всех х D выполняется неравенство |ƒ(х)|≤М (короткая запись: у=ƒ(х), хєD, назограниченной на D, если  $М>0: xєD ==>|ƒ(х)|≤М). , что график ограниченной функции лежит между прямыми у=-М и у=М

4. Функция у=ƒ(х), определенная на множестве D, назпериодической на этом множестве, если существует такое число Т>0, что при каждом х D значение (х+Т) D и ƒ(х+Т)=ƒ(х). При этом число Т наз периодом функции. Если Т— период функции, то ее периодами будут также числа m•Т, где m=±1;±2,... Так, для у=sinx периодами будут числа ±2p;±4p; ±6p,... Основной период (наименьший положительный) — это период Т=2p. Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству ƒ(х+Т)=ƒ(х).

Обратная функцияПусть задана функция у=ƒ(х) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению у Е соответствует единственное значение х D, то определена функция х=φ(у) с областью определения Е и множеством значений D. Такая функция φ(у)  наз  обратной к функции ƒ(х) и записывается в следующем виде: х= (y)=f^-1(y).Про функции у=ƒ(х) и х=φ(у) говорят, что они явл взаимно обратными. Чтобы найти функцию х=φ(у), обратную к функции у=ƒ (х), достаточно решить уравнение ƒ(х)=у относительно х. н: для функции у=2х обратной функцией является функция х=у/2. Из определения обратной функции вытекает, что функция у=ƒ (х),

имеет обратную тогда и только тогда, когда функция f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. что любая строго монотонная функция имеет обратную.

При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Сложная функцияПусть функция у=ƒ(u) определена на множестве D, а функция u= φ(х) на множестве D₁, причем для всех x D₁ соответствующее значение u=φ(х) D. Тогда на множестве D ₁ определена функция u=ƒ(φ(х)), к.назсложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).Переменную u=φ(х) назпромежуточным аргументом сложной функции.

Н:f у=sin2x есть суперпозиция двух функций у=sinu и u=2х. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Компози́цияфу́нкций (суперпози́цияфу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.