Вопрос 1

Действительные числа – это рациональные-(это числа, которые можно записать в виде положительной обыкновенной дроби , отрицательной обыкновенной дроби  или числа нуль.) и иррациональные числа(-Числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби).Действительные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.Из определения действительных чисел понятно, что действительными числами явл:любое натуральное число;любое целое исло;любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная);любое смешанное число; любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, есконечная периодическая, бесконечная непериодическая). Т.ж.ДЧ можно видеть в виде корней, степеней,логарифмов и т.п. Более того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа.Св-ва ДЧ: 1) упорядоченное-д/любых 2х различных чисел a и b имеет место одно из двух соотношений а < b либо Ь <a. 2) Множество Rплотное: между любыми двумя различными числами а и Ь содержится бесконечное множество дейсхвительных чисел х , т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству а < х < Ь; 3) Множество Rнепрерывное. Пусть множество R разбито на два непустых класса АиВтаких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел а  А и b  В

выполнено неравенство а <b. Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число с, удовлетворяющее неравенству а с b. Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Число

с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего).

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, бъединенных по какому-либо признаку. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Множества, элементами к. явл числа, назчисловыми. Действительные числа, не явл рациональными, назиррациональными.Т: Не сущ-ет рацион. Числа, квадрат к. =числу 2

.Множество - равномощное множеству всех натуральных чисел (1, 2,3,....,n-1), например множество целых чисел, множество чётных чисел, множество рациональных чисел; все другие бесконечные множества  являются несчётными бесконечными множествами. Это означает, что все элементы счётного множества можно перенумеровать, то есть обозначить натуральными числами. Говорят, также, что счётное множество имеет мощность , а всякое множество, равномощное с множеством всех подмножеств какого-нибудь счётного множества, имеет мощность  или мощность континуума. Бесконечное множество считается счётным, если можно установить одно-однозначное соответствие между его элементами и натуральными числами. Мощность счётного множества, например, множества простых чисел, меньше мощности любого бесконечного несчётного множества. Отношение между счётным множеством и бесконечным несчётным множеством выражается след. теоремами:1) мощность бесконечного множества не изменяется от прибавления к нему счётного множества;2)мощность несчётного множества не изменяется от удаления из него  счётного множества;3) любое подмножество счётного множества счётно;4)сумма двух счётных множеств счётна;5) сумма конечного и счётного множества счётна;6) если множество А счётно, то множество всех конечных последовательностей его элементов также счётно;7) множество алгебраических чисел счётно.Т : Множество рациональных чисел счетно.-Представим множество всех рациональных чисел в виде бесконечной таблицы. Оценим, как строятся строки этой таблицы.Первая строка – это все целые числа, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки “+” и “–” чередуются.Вторая строка – это все несократимые дроби со знаменателем 2, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки “+” и “–” чередуются.Третья строка – это все несократимые дроби со знаменателем 3, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки “+” и “–” чередуются.

Вообще,n-ая строка это все несократимые дроби со знаменателем n, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки “+” и “–” чередуются.Очевидно, что в этой таблице находятся все рациональные числа. Используя снова прием диагонализации представим R в виде: