5. Прямая линия на плоскости. Различные уравнения.

Параметрические уравнения прямой на плоскости:

Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения этой прямой, имеющей вид  . Примем за параметр  величину, на которую можно умножить левую и правую части канонического уравнения.

Так как один из знаменателей обязательно отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра   является вся ось вещественных чисел:  .

Мы получим   или окончательно

.   (1)

Уравнения (1) и есть искомые параметрические уравнения прямой. Эти уравнения допускают механическую интерпретацию. Если считать, что параметр   - это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью   (такое движение происходит по инерции).

Часто в задачах требуется преобразовать параметрические уравнения прямой в другие виды уравнений, а из уравнений других видов получить параметрические уравнения прямой. Разберём несколько таких примеров. Для преобразования параметрических уравнений прямой в общее уравнение прямой сначала следует привести их к каноническому виду, а затем из канонического уравнения получить общее уравнение прямой.

Несколько более сложно преобразование общего уравнения в параметрические уравнения прямой, но и для этого действия можно составить чёткий алгоритм. Сначала можно преобразовать общее уравнение в уравнение с угловым коэффициентом и найти из него координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой, придавая одной из координат произвольное значение. Когда известны координаты точки и направляющего вектора (из общего уравнения), можно записать параметрические уравнения прямой.

Уравнение прямой, заданной двумя точками:

В соответствии с условием, нам известны координаты двух точек   и  . Данная задача сформулирована корректно, так как известно, что через две точки проходит одна и только одна прямая линия.

Рисунок 1.4. Прямая, проходящая через две заданных точки

Если учесть, что уравнение (1-7) прямой проходящей через заданную точку   в заданном направлении, определяет все прямые, проходящие через точку  . Из них, нужно выбрать одну, которая будет проходить и через точку  . Для этого нужно определить конкретное значение углового коэффициента K искомой прямой. Его значение можно определить, если в (1-7) подставить координаты точки  , которая принадлежит искомой прямой

,

И искомое значение k равно

.

Подставим найденное значение углового коэффициента K в уравнение (1-7). После преобразований получим:

                                     (1-8)

Это и есть уравнение искомой прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Если в общем уравнении прямой   , то его можно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом

где     угловой коэффициент, 

a – угол, образованный прямой с положительным направлением оси   ,    – свободный член, равный ординате точки пересечения прямой с осью   .

Однозначно определить прямую можно, задав одну точку и угловой коэффициент. А именно, уравнение прямой, проходящей через точку    с угловым коэффициентом   , определяется по формуле

                             .                                           (2)

Пример 1. Составить уравнение прямой проходящей через (.)А(-1,2) с угловым коэффициентом   .

Решение. Воспользуемся формулой (2), подставив координаты данной точки и угловой коэффициент    или общее уравнение   .

Ответ: общее уравнение прямой   

Общее уравнение прямой, исследование общего уравнения прямой:

Всякое уравнение относительно    вида

 ,                                              (1)    

где    – постоянные коэффициенты, называется общим уравнением прямой и однозначно определяет на плоскости некоторую прямую. Заметим, что вектор   перпендикулярен прямой, т. е. будет её нормальным вектором. Рассмотрим частные случаи.

1)   , прямая проходит через начало координат, когда   ;

2)   , или    когда   ; горизонтальная прямая (параллельна оси   );

3)    или    при    – вертикальная прямая (параллельна оси   ).

Задание прямой точкой и нормальным вектором:

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору  (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.