Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
Длина отрезка. Ломаная, звенья ломаной, простая ломаная, замкнутая ломаная, простой многоугольник, граница многоугольника, ориентированный многоугольник. Характеристика многоугольника. Площадь многоугольника. Аксиомы измерения площадей. Теорема существования и единственности. Равновеликие и равносоставленные многоугольники
Длина отрезка: отрезок- это часть прямой линии, ограниченная двумя точками - началом и концом.
А длина отрезка это расстояние от одной точки до другой.
Если известны координаты отрезка (х1;у1) и (х2;у2), то следует рассчитать его длину следующим образом. Из координат на плоскости второй точки следует вычесть координаты первой точки. В итоге должно получиться два числа. Каждое из таких чисел необходимо возвести в квадрат, а потом найти сумму этих квадратов. Из полученного числа следует извлечь квадратный корень, который будет являться расстоянием между точками. Поскольку данные точки являются концами отрезка, то данное значение и будет его длиной.
Рассмотрим пример, как найти длину отрезка по координатам. Есть координаты двух точек (-1;2) и (4;7). При нахождении разности координат точек получаем следующие значения: х = 5, у =5. Полученные числа и будут являться координатами отрезка. Затем каждое число возводим в квадрат и находим сумму результатов, она равна 50. Из этого числа извлекаем квадратный корень. Результат таков: 5 корней из 2. Это длина отрезка.
Ломаная, звенья ломаной, простая ломаная, замкнутая ломаная, простой многоугольник, граница многоугольника, ориентированный многоугольник:
Ломаная - геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных своими концами.
Составные отрезки ломаной называются ее сторонами или звеньями, а их концы – вершинами ломаной. Наименьшее возможное количество звеньев ломаной – два. Конечные вершины ломаной называются черными точками. Графически линию обозначают по названиям ее вершин, например, ломаная ABCDEFG. Ломаная линия может быть замкнутой, т.е. ее конечные вершины совпадают. Разновидностями такой линии являются многоугольники. Многоугольник – это плоская замкнутая ломаная, которая не имеет самопересечений. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а ее звенья – сторонами многоугольника. Многоугольник с тремя сторонами и вершинами называется треугольником. Замкнутая ломаная с четырьмя сторонами может быть квадратом, прямоугольником, ромбом, параллелограммом, трапецией. Фигура с пятью и более сторонами называется n-угольником, где n – число вершин. Ломаная линия может иметь самопересечения. Классическим примером замкнутой ломаной с самопересечениями является пятиконечная звезда. Разновидностью ломаной линии является зигзаг, в котором отрезки параллельны друг другу через один, а последовательные образуют одинаковый угол. Зигзаги используются в швейном деле, а также при декоративном оформлении предметов обихода (посуды, мебели, книг) в качестве орнамента.
Характеристика многоугольника:
Многоуго́льник — это замкнутые ломаные линии, не имеющиесамопересечения.
Последняя фигура, изображенная на рисунке не является многоугольником, так как несмежные отрезки имеют более одной общей точки.
Существуют три различных варианта определения многоугольника:
Плоская замкнутая ломаная — самый общий случай;
Плоская замкнутая ломаная без самопересечений — простой многоугольник;
Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений.
В любом случае, вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.
Площадь многоугольника:
Формула для нахождения площади правильного многоугольника:Площадь = 1/2 х периметр х апофема.
Периметр - сумма сторон многоугольника.
Апофема – отрезок, соединяющий центр многоугольника и середину любой из его сторон (апофема перпендикулярна стороне).
Аксиомы площади:
Теорема существования и единственности:
Теорема существования — утверждение, которое устанавливает, при каких условиях существует решение математической задачи или математический объект, например производная, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение уравнения и т. д. При доказательстве теорем существования используются сведения из теории множеств. Теоремы существования играют очень важную роль в различных приложениях математики, например при математическом моделировании различных явлений и процессов. Математическая модель не адекватна конкретному описываемому явлению, из существования решения реальной задачи не следует существование соответствующей математической задачи. Доказательство теорем существования необходимо перед решением различных математических задач, вроде вычисления интеграла или интегрирования дифференциального уравнения. Теоремы существования позволяют определить, существует ли вычисляемый интеграл и сколько решений имеет дифференциальное уравнение. Если удается доказать теорему существования, единственность решения и корректность самой постановки задачи, то это означает очень важный первый шаг в решении задачи.
Равновеликие и равносоставленные многоугольники:
При
вычислении площадей многоугольников
используется простой прием, называемый
методом разбиения. Рассмотрим
многоугольники
и 
,
изображенные на рис. 1, где показано, как
разбить эти многоугольники на одинаковое
число соответственно равных частей
(равные части отмечены одинаковыми
цифрами). О многоугольниках
и
говорят,
что они равносоставлены. Вообще,
многоугольники
и 
называются
равносоставленными, если, определенным
образом разрезав многоугольник
на
конечное число частей, можно, располагая
эти части иначе, составить из них
многоугольник
.
Легко видеть, что справедлива следующая
теорема: равносоставленные многоугольники
имеют одинаковую площадь, или, как
говорят, равновелики.
Например,параллелограмм равносоставлен
с прямоугольником (рис. 2), и потому, зная
формулу площади прямоугольника, находим,
что площадь параллелограмма равна
произведению длин его стороны и
соответствующей высоты.
Рис. 1
Рис. 2
Этот пример иллюстрирует метод разбиения, состоящий в том, что для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей таким образом, чтобы из этих частей можно было составить более простой многоугольник, площадь которого нам уже известна. Например, треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту (рис. 3); из этого легко выводится формулаплощади треугольника. Этот способ вычисления площадей многоугольников был известен еще Евклиду, который жил более 2000 лет назад.