1. Векторы и операции над ними.

Вектор- это направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Равные векторы-вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны.

Единичным вектором или ортом - называется вектор, длина которого равна единице. Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки.

Одинаково направленные- Векторы и называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены. Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы и называются противоположно направленными.

Противоположно направленные векторы- если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы и называются противоположно направленными.

Скользящий вектор может перемещаться вдоль прямой, отрезком которой он является. Прямую эту называют основанием или линией действия вектора.

Скользящие векторы - это такие векторы, которые считаются равными, если они не только имеют одинаковые длины и одинаково направлены, но и расположены на одной и той же прямой.

Связанные векторы - это такие векторы, которые считаются равными, если они не только имеют одинаковые длины и одинаково направлены, но и имеют одинаковое начало.

Действия над векторами: сложение двух векторов (по правилу треугольника, по правилу параллелограмма):

Правилом треугольника сложения векторов называется следующий способ: Пусть есть произвольные векторы a и b. Надо от конца вектора a отложить вектор b`, равный вектору b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец совпадет с концом вектора b`, будет суммой a + b.

 Сложение векторных величин производится по правилу параллелограмма: сумма двух векторов   и  , приведенных к общему началу, есть третий вектор  , длина которого равна длине параллелограмма, построенного на векторах   и  , а направлен он от точки A к точке B (см. рисунок):

Модуль вектора   вычисляется по формуле

     

Правило многоугольника: Чтобы сложить несколько векторов надо построить векторы так, чтобы каждый следующий вектор выходил из конца предыдущего, а вектор суммы направить из начала первого вектора в конец последнего.

Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.

Разностью двух векторов   и   называется такой третий вектор  , который равен сумме векторов   и   (см. рисунок). Вектор  параллелен вектору  , равен ему по модулю, но противоположно направлен:

Коллинеа́рность — отношение параллельности векторов: два ненулевых связанных (геометрических) вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой, два ненулевых свободных (иногда слово "свободных" опускается) вектора называются коллинеарными, если будучи приложенными к одной точке, они лежат на одной прямой. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.

Компланарность- три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.

Разложение вектора по базису: Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса.

Координатами вектора называются коэффициенты его разложения по базисным векторам.

Координа́тыве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где   — координаты вектора.