12. Критерий совместимости системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).

Определение Системой линейных уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

(1)

Система уравнений называется однородной, если и неоднородной в противном случае.         

Определение Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной - в противном случае, то есть в случае, когда решений у системы нет.

Теорема  (Теорема Кронекера-Капелли.) Система линейных уравнений (1) является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы . Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы. Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное ре­шение, если он меньше числа неизвестных, решений -множество.

        Доказательство.    

Оно распадается на два этапа. 1. Пусть система имеет решение. Покажем, что . Ранг матрица А равен рангу расширенной матрицы.

Пусть набор чисел является решением системы. Обозначим через -ый столбец матрицы , . Тогда , то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы . Пусть . Предположим, что . Тогда по предположению, что ранг расширенной матрицы либо равен рангу матрицы системы , либо больше его на единицу запишем . Выберем в базисный минор . Он имеет порядок . Столбец свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы . Столбец свободных членов в миноре является линейной комбинацией столбцов матрицы . В силу некоторых свойств определителя, например все свойства определителя, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по -ому столбцу имеем , где  - определитель, который получается из минора заменой столбца свободных членов на столбец . Если столбец проходил через минор , то в , будет два одинаковых столбца и, следовательно, . Если столбец не проходил через минор , то будет отличаться от минора порядка матрицы только порядком столбцов. Так как , то . Таким образом, , что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что , неверно.

2. Пусть . Покажем, что система имеет решение. Так как , то базисный минор матрицы является базисным минором матрицы . Пусть через минор проходят столбцы . Тогда по теореме о базисном миноре в матрице столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов: (2)

Положим , , , , остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значениях получим

В силу равенства (2) . Последнее равенство означает, что набор чисел является решением системы. Существование решения доказано.     

В рассмотренной выше системе (1) , и система является совместной.

        Замечание  Хотя теорема Кронекера-Капелли дает возможность определить, является ли система совместной, применяется она довольно редко, в основном в теоретических исследованиях. Причина заключается в том, что вычисления, выполняемые при нахождении ранга матрицы, в основном совпадают с вычислениями при нахождении решения системы. Поэтому, обычно вместо того, чтобы находить и , ищут решение системы. Если его удается найти, то узнаем, что система совместна и одновременно получаем ее решение. Если решение не удается найти, то делаем вывод, что система несовместна.         

Пример. Исследовать систему линейных уравнений

Решение. Поскольку все элементы матрицы системы входят в расширенную мат­рицу, то ранги обеих матриц можно вычислять одновременно.

~ ~

~ .

Таким образом, матрица  содержит две ненулевые строки, значит ее ранг  равен двум. В матрице  три ненулевых строки, ее ранг  равен трем. А т.к. , система несовместна.