4.2 Дистрибутивная решетка, определение.
Определение 12. Дистрибутивная решётка — решетка, в которой справедливо тождество:
равносильное тождествам
и
соответственно
Приведем примеры дестрибутивных и недестрибутивных решеток, опираясь на определение
Дистрибутивной решеткой является :
1 .
a . b.
0.
(рис 2.)
Как видно на (рис 2) решетка состоит из элементов 1, a, b, 0 проверим, является ли решетка дистрибутивной, a + b = 1; ab = 0, по определению решетка является дистрибутивной.
Приведем пример недестрибутивной решетки.
1 .
a . b. c.
0.
(рис 3).
Проверяем свойство дистрибутивности из определения12 . Имеем:
(a+ b)c = ac + bc. Проверяем левую часть равенства. (a+b)c , т.к a + b = 1;
следовательно 1 * c = c. Итак, в левой части равенства получен результат с, следовательно в правой мы должны получить аналогичный результат, проверяем правую часть ac + bc, итак, как видим из (рис 3) ac = 0; аналогично для bc = 0. Получаем, с учетом левой части выражение вида с ≠ 0. Свойства дистрибутивной решетки не выполняется, следовательно решетка недестрибутивная.
Хотя эти примеры и являются тривиальными, но они наглядно показывают, что из себя представляют алгебраические структуры, без лишней теоретической нагрузки, которые в основном встречаются в научной литературе.
Заключение.
В курсовой работе были введены вспомогательные понятия и определения, необходимые для дальнейшего разбора теории структур, были затронуты и разобраны свойства и определения касающихся решеток, как частично упорядоченное множества с веденными на них операциями пересечения и объединения, с наглядно приведенными примерами. Так же был разобран вопрос, касающийся перехода от частично- упорядоченного множества к алгебраической структуре с веденной на ней бинарными операциями + и *. Были разобраны виды алгебраических решеток, приведены примеры с доказательствами дистрибутивных и недестрибутивных решеток.
Список используемой литературы
1. Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. - М.: Наука, 1971.
2. Розен В. В. Цель - оптимальность - решение (математические модели принятия оптимальных решений). - М.: Радио и связь, 1982.
3. Столяр А. А., Рогановский Н. М. Основы современной школьной математики. Ч. 1. Язык. Множества. Отношения. Функции. Математические структуры. - Минск: Нар. Асвета, 1975.
4. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.