4.1 Частично-упорядоченное множество.
Определение 10: Частично упорядоченное множество, в котором для любых элементов a и b существую inf{a,b} и sup{a,b}, называют решеточно упорядоченным множеством.
Решетка называется полной, если любое подмножество ее элементов имеют точные верхнюю и нижнюю грани.
Введем операцию +, операцией + на частично упорядоченным множеством будем считать что a∪b = a + b =sup{a,b}. Так же введем операцию * и будем считать, что a⋂b = a*b = inf{a,b}. (рис.1) тогда из определения решетки как ч.у.м мы перейдем к определению решетки как алгебраической структуры с введенной на ней бинарными операциями + и *
1.2 Алгебраические решетки, свойства.
Определение 11: Алгебраическая решетка - это тройка L = [ L, +, *], где L- непустое множество, а + (объединение), * (пересечение) - бинарные операции на нем, подчиняющимися парами законов коммутативности, ассоциативности, идемпотентности и поглощения.
Из определений частично упорядоченного множества и алгебраической решетки следует, что:
a + b = sup{a, b}, так же a * b = inf{a,b}.
Пусть x, y, z элементы и множества L, тогда:
x + x = x; x * x = x;
x + y = y + x; x * y = y * x;
x + (y + z) = (x + y) + z; x * (y * z) = (x * y) * z;
x * (x + y) = x x + (x * y) = x;
Теорема 1. Пусть L - множество с операциями +, *, обладающими свойствами (1 - 4). Тогда отношение
a ≤ b = a + b = b;
является порядком на L, а возникающее частично упорядоченное множество оказывается структурой(решеткой), при чем:
a + b = sup {a, b};
a*b = inf {a, b};
Доказательство: Рефлективность отношения ≤ вытекает из свойства (1). Если a ≤ b, и b ≤ a, т.е a + b = b и b + a = a, то в силу (3) a = b, т.е отношение ≤ является антисимметричным. Если a + b = b и b + c = c, то применяя (3) получим:
a + c = a + (b + c) = (a + b) + c = b + c = c,
что доказывает транзитивность отношения ≤. Учитывая свойства (1), (2), (3) мы получаем
a + (a + b) = (a + a) + b = a + b,
b + (a + b) = b + (b + a) = b + a = a + b,
Следовательно, a ≤ a + b и b ≤ a + b. Если a ≤ x, b ≤ x, то используя (1) - (3) будем иметь
(a + b) + x = a + (b + x) = a + x = x, т.е a + b ≤ x, из определения точной верхней грани получаем что
a + b = sup{ a, b}.
Аналогично можно доказать, что a*b = inf{a, b}, (далее будем отмечать ab = a*b)
Доказательство: Из свойств (1) - (3) вытекает, что ab ≤ a и ab ≤ b. Если y ≤ a и y ≤ b то с помощью (3) - (4) получаем:
y(ab) = [y ( y + b)]b = yb = y(y + b) = y.
В силу свойств (1) и (3) получаем, что y + ab = y(ab) + ab = ab,
т.е y ≤ ab. Таким образом,
ab = inf{a, b}.
Из теоремы 1 вытекает, что структуры образуют многообразие универсальных алгебр с двумя бинарными операциями.
Обращая внимания на то, что свойства (1) - (4), стоящие в левой колонке, двойственны соответствующим свойствам правой колонки. Можно установить, что в произвольной структуре из справедливости какого - либо свойства, записываемого в терминах структурных операций, вытекает справедливость двойственного свойства.
Теорема 2. Если a ≤ b и c ≤ d, то a + b ≤ c + d и ab ≤ cd;
Доказательство: В силу эквивалентности свойств Ia ≤ b; a + b = b; ab = a; из условия следует, что a + c = c, b + d = d; ac = a; bd = d;
Поэтому :
(a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d) = c + d;
(ab)(cd) = (ac)(bd) = ab; откуда и вытекают требуемые неравенства.
Пример 1. Пусть {a, b, c} элементы из множества L, при чем, a ≤ b ≤ c. Данный набор элементов будет являться решеткой, так как для всех этих элементов есть наибольшее и наименьше значение, являющееся еще и inf и sup,
проверим это, для a и b найдем inf, т. к inf{a,b} = ab, a ≤ b, то inf {a,b} = a. Для b и c. inf{b,c} = bc, b ≤ c, inf{b,c} = b. используем свойство транзитивности и получим, что inf{a,c} = a. Из наименьших элементов, элемент a наименьший. Аналогично проведем проверку по свойству +, получим, что sup{a,b} = b, sup{b,c} = c; опять же по свойству транзитивности получим sup{a,c} = c; Так как множество состоящее из трех элементов является частично упорядоченным и имеет верхнюю и нижнюю грани, то множество L является решеткой.
Примечание: обычно в алгебре наименьший элемент обозначается 0. А наибольший 1. Далее в примерах можно будет это увидеть.
Пример 2 Пусть S(A) множество всех подмножеств множества A. при чем |A| = n, тогда S(A)-решетка. И n - размерность куба.
Допустим,
что множество A
состоит из 3 элементов {a,b,c}
так же оно имеет пустое множество
.
Перечислим все подмножества
А. {a,b}
, {a,c}
, {b,c},
{a} , {b} , {c}. Так как n = 3, то получим 3 х мерный куб, элементы которого будут находится на разных уровнях.
Графическое представление:
.
А
. {a,b} .{a,c} .{b,c}
. {a} .{b} . {c}
. (рис 1)
Как видно на (рис 1) довольно понятно показано что из себя представляет "множество всех подмножеств множества". На рисунке видно что элемент {a}
не является подмножеством {b,c}, соответственно b не подмножество {a,c} и т.д.
Перейдем к определению дистрибутивной решетки