2 Отношение эквивалентности.
Определение
3 Отношение
эквивалентности
(
)
на множестве
—
это бинарное отношение, для которого
выполнены следующие условия:
Рефлексивность:
для
любого
в
,Симметричность: если
,
то
,Транзитивность: если и
,
то
.
Запись
вида «
»
читается как «
эквивалентно
».
2.1 Рефлективность
Определение
4 Рефлексивное
отношение
— бинарное отношение
на множестве
,
при котором всякий элемент этого
множества находится в отношении
с самим собой.
Примеры рефлексивности:
отношения эквивалентности:
отношение равенства
отношение сравнимости по модулю
отношения нестрогого порядка:
отношение нестрогого неравенства
отношение нестрогого подмножества
отношение делимости
2.2 Симметричность
Определение
5 Бинарное
отношение
на множестве X называется симметричным,
если для каждой пары элементов множества
выполнение отношения
влечёт выполнение отношения
.
Примерами симметричных отношений служат отношения типа равенства (тождества, эквивалентности, подобия)
2.3 Транзитивность
Определение
6 Бинарное
отношение
на
множестве
называется
транзитивным,
если для любых трёх элементов множества
выполнение
отношений
и
влечёт
выполнение отношения
.
Формально, отношение
транзитивно,
если
.
Пример 1. Равенство а = b и b = c, следует, что a = c.
Пример
2.
Отношение порядка , если a
b
и b
c,
то a
c.
Как видно из примеров можно привести много примеров по свойству транзитивности. К таковым относятся операции импликации, эквивалентности, делимости и т.д.
3 Отношение порядка
Определение 7 Бинарное отношение на множестве называется отношением нестрогого частичного порядка (отношением порядка, отношением рефлексивного порядка), если имеют место
Рефлексивность:
Антисимметричность:
.Транзитивность:
;
Определение 8 Отношение порядка R на множестве А называется нестрогим, если оно рефлексивно на А.
Определение 9 Отношение порядка R строгим (на A), если оно антирефлексивно. Однако из антирефлексивности транзитивного отношения R следует его антисимметричность, следовательно можно дать более точное определения для строгого отношения.
Определение 9.1 Бинарное отношение R на множество A называется строгим порядком на А, если оно транзитивно и антирефлексивно на А.
Пример
1.
Пусть P(M)
-множество всех подмножеств множества
М. Отношение включения
на множестве P(M)
есть отношение нестрого порядка.
Пример 2. Отношения ≤ и на множестве действительных чисел являются соответственно отношением строгого и нестрогого порядка.
Пример 3. Отношение делимости во множестве натуральных числе есть отношение нестрого порядка.
Множество
,
на котором введено отношение частичного
порядка, называется частично
упорядоченным.
Отношение нестрогого частичного порядка
часто обозначают знаком
.