Содержание
Введение 3
1. Бинарные отношения на множестве
1.1 Бинарные отношения, определения.................................................4
1.2 Примеры бинарных отношений........................................................4
2. Отношение эквивалентности 6
2.1. Рефлективность, примеры рефлективности...................................5
2.2. Симметричность................................................................................5
2.3. Транзитивность..................................................................................6
3. Отношение порядка 7
4. Частично-упорядоченные множества 8
4.1 Основные определения, свойства ч.у.м...........................................8
4.2. Решетки...............................................................................................8
4.3. Дистрибутивность решетки..............................................................12
4.4. Примеры дестрибутивных и недестребутивных решеток............13
Заключение 14
Список используемой литературы 15
Введение
В курсовой работе будут рассматриваться решетки со стороны теории множества как частично упорядоченные множества и со стороны алгебры как структуры с введенной на них бинарными операциями, так же будут введены и разобраны основные определения и свойства теории структур. Будут разобраны вспомогательные определения операции над множествами с приведенными примерами.
1 Бинарные отношения на множестве.
1.1 Бинарные отношения, определения.
Для начала введем несколько вспомогательных определений.
Определение
1. Декартовым
произведением
множеств X
и Y
называется множество XxY
всех упорядоченных пар (x,
y)
таких, что x
X,
y
Y.
Определение 2. Соответствием между множествами X и Y (или соответствием из X в Y) называется любое подмножество декартова произведения X xY. Если множества X и Y совпадают, то соответствие между множествами X и Y называют также бинарным отношением на множестве X.
бинарные отношения наиболее часто используются в математике, в частности, таковы равенство, неравенство, эквивалентность, отношение порядка.
1.2 Примеры бинарных отношений.
1.1.1 Пусть X = {a, b, c, d}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Тогда множество кортежей a={(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} являются соответствием из X в Y.
Отметим, что обычно соответствия задаются не путем указания подмножества a декартова произведения X xY, а путем указания свойства пар (x, y), принадлежащих этому подмножеству . Отношение a = {(4, 4), (3, 3), (2, 2), (4, 2)} на множестве X = {4, 3, 2} можно определить как свойство "Делится" на этом подмножестве целых чисел.
1.1.2 Отношения могут задаваться формулами:
формулы y = x2 +5x - 6 или
