Презентации и конспект лекции Синицын / Презентации_ВЭиМОвТС / МетодыОптимизации / Лекция7 Уусловная оптимиз Функция Лагранжа
.pdfТема 18 Методы условной оптимизации2
Понятие функции Лагранжа
Задача линейного программирования
Задача квадратичного программирования
05.01.2011 |
1 |
Постановка задач
Найти минимум функции
y f ( x1 ... x n ) f ( x ).
При ограничениях
g k ( x ) 0 , |
k 1 ...m |
g k ( x ) 0 , |
k m 1 ..m p |
05.01.2011 |
2 |
Понятие функции Лагранжа
Вначале на простом примере функции двух переменных рассмотрим какие условия в точке минимума имеют место и как их проще получить
Целевая функция |
z |
f ( x , y ) |
g(x,y)=0 |
Ограничение |
|
|
|
g ( x , y ) 0 |
y |
|
|
Условный минимум лежит
на кривой, описываемой
уравнением g ( x , y ) 0,
которое неявно определяет
зависимость y=y(x)
x
05.01.2011 |
3 |
Получение Условия минимума
Вдоль кривой |
g ( x , y ) 0 |
|
имеет место очевидное соотношение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
d g |
|
|
g |
|
g |
|
d y |
|
d y |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
d x |
x |
y |
|
x |
d x |
|
g |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y
05.01.2011 |
4 |
Получение Условия минимума
Запишем условие минимума для функции
z f [ x , y ]
Вдоль кривой y=y(x)
z f [ x , y ( x )]
имеем
d z |
|
f |
|
f d y |
0 |
||
|
|
|
|
|
|||
d x |
|
x |
y x |
|
|||
05.01.2011 |
5 |
Условия минимума
Получаем
обозначим
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
05.01.2011 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
f |
|
d f |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|||
x |
y |
|
|
g |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
f |
|
|
|
d f |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
Преобразуем |
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
g |
|
|
g |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
d f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
– множитель Лагранжа |
||
|
g |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
6 |
Необходимые Условия минимума
Таким образом в точке
минимума f(x,y)
на кривой g(x,y)=0
выполняются
три условия:
|
f ( x |
* |
, y |
* |
) |
|
d g ( x |
* |
, y |
* |
) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||
x |
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x * , y |
* ) |
|
d g ( x * , y |
* ) |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g ( x * |
, y * ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
05.01.2011 |
7 |
введем функцию Лагранжа
L ( x , y , ) f ( x , y ) g ( x , y )
Для нее условия экстремума которые мы выше вывели получаются естественным образом
L
x
L
y
L
|
f ( x , y ) |
|
d g ( x , y ) |
|
|
||
|
x |
x |
|
|
f ( x , y ) |
|
d g ( x , y ) |
|
|
||
|
y |
y |
|
g ( x , y ) 0
0
0
05.01.2011 |
8 |
Рассмотрим простой пример
z f ( x , y ) x 2 y 2
g ( x , y ) x y 4 0
Функция Лагранжа |
L ( x , y , ) x |
2 y |
2 ( 4 |
x y ) |
|
|
L |
|
2 x 0 |
|
Условия экстремума |
x |
|||
|
|
|||
|
L |
|
2 y 0 |
|
|
y |
|||
|
|
|
Решение x=2; y=2; =4. |
L |
4 x y 0 |
|
|
|||
|
|
05.01.2011 |
9 |
анализ, вблизи точки экстремума
• точка экстремума функции Лагранжа представляет
седловую точку, в которой достигается минимум по переменным xy и максимум по переменной
|
x |
|
|
|
x |
Сечение функции Лагранжа
при y=2 |
2 y |
2 ( 4 |
x y ) |
L ( x , y , ) x |
|||
05.01.2011 |
|
|
10 |