Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
45
Добавлен:
15.06.2014
Размер:
507.88 Кб
Скачать

Тема 18 Методы условной оптимизации2

Понятие функции Лагранжа

Задача линейного программирования

Задача квадратичного программирования

05.01.2011

1

Постановка задач

Найти минимум функции

y f ( x1 ... x n ) f ( x ).

При ограничениях

g k ( x ) 0 ,

k 1 ...m

g k ( x ) 0 ,

k m 1 ..m p

05.01.2011

2

Понятие функции Лагранжа

Вначале на простом примере функции двух переменных рассмотрим какие условия в точке минимума имеют место и как их проще получить

Целевая функция

z

f ( x , y )

g(x,y)=0

Ограничение

 

 

 

g ( x , y ) 0

y

 

Условный минимум лежит

на кривой, описываемой

уравнением g ( x , y ) 0,

которое неявно определяет

зависимость y=y(x)

x

05.01.2011

3

Получение Условия минимума

Вдоль кривой

g ( x , y ) 0

 

имеет место очевидное соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

d g

 

 

g

 

g

 

d y

 

d y

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x

x

y

 

x

d x

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

05.01.2011

4

Получение Условия минимума

Запишем условие минимума для функции

z f [ x , y ]

Вдоль кривой y=y(x)

z f [ x , y ( x )]

имеем

d z

 

f

 

f d y

0

 

 

 

 

 

d x

 

x

y x

 

05.01.2011

5

Условия минимума

Получаем

обозначим

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

g

 

 

 

 

 

05.01.2011

 

x

 

 

 

 

 

 

g

 

 

f

 

d f

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

0

 

 

 

 

 

x

y

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

f

 

 

 

d f

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

Преобразуем

 

x

 

 

 

 

0

 

g

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

d f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

– множитель Лагранжа

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

6

Необходимые Условия минимума

Таким образом в точке

минимума f(x,y)

на кривой g(x,y)=0

выполняются

три условия:

 

f ( x

*

, y

*

)

 

d g ( x

*

, y

*

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x * , y

* )

 

d g ( x * , y

* )

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g ( x *

, y * ) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

05.01.2011

7

введем функцию Лагранжа

L ( x , y , ) f ( x , y ) g ( x , y )

Для нее условия экстремума которые мы выше вывели получаются естественным образом

L

x

L

y

L

 

f ( x , y )

 

d g ( x , y )

 

 

 

x

x

 

f ( x , y )

 

d g ( x , y )

 

 

 

y

y

g ( x , y ) 0

0

0

05.01.2011

8

Рассмотрим простой пример

z f ( x , y ) x 2 y 2

g ( x , y ) x y 4 0

Функция Лагранжа

L ( x , y , ) x

2 y

2 ( 4

x y )

 

 

L

 

2 x 0

Условия экстремума

x

 

 

 

L

 

2 y 0

 

y

 

 

 

Решение x=2; y=2; =4.

L

4 x y 0

 

 

 

05.01.2011

9

анализ, вблизи точки экстремума

точка экстремума функции Лагранжа представляет

седловую точку, в которой достигается минимум по переменным xy и максимум по переменной

 

x

 

 

x

Сечение функции Лагранжа

при y=2

2 y

2 ( 4

x y )

L ( x , y , ) x

05.01.2011

 

 

10