Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

Презентации и конспект лекции Синицын / Лекции.pdf

Скачиваний:

172

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

672.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1414

5. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

5.1. Одномерное нестационарное уравнение теплопроводности

∂u		∂		∂u			u(x,0) = u0 (x).
	=		g		+ f ;	u(a,t) =α; u(b,t) = β;		(5. 1)
∂t
		∂x		∂x		Ω ={0 ≤ x ≤ b, 0 ≤ t ≤T}
Область интегрирования							покрываем равномерной
сеткой ωh,τ	={(i −1)h, kτ, i =1... n1, k = 0... K}, τ - шаг по времени; h - шаг по x ;

k– номер временного слоя; i – номер точки. Для нахождения таблицы решения
u	h ={	uik u(xitk )} используем интегроинтерполяционный способ с разбиением
Ω на подобласти Ωk ={x				≤ x ≤ x	, kτ ≤ t ≤ (k +1)τ}. Построим следующую
		i	i−1/ 2	i+1/ 2

неявную конечно-разностную схему Кранка-Николсона, безусловно устойчи-

вую и имеющую погрешность аппроксимации второго порядка o τ2

+ h2

)

(

uik+1 −

uik

=ω

k+1 + (1−ω

k +

= ωr

k+1 −(g

+ g

)

k+1

+ g

k+1

(5.2)

i−1/ 2 i−1

i−1/ 2

i+1/ 2

+1/ 2

i+1

1−ωr

−(g

+ g

)

+ g

; ω

= 0,5.

i−1/ 2

i−1

i−1/ 2

i+1/ 2

+1/ 2

i+1

Каждое уравнение (4.2) связывает между собой значения искомого решения в шести узлах сетки (шеститочечный шаблон), три из которых берутся на нижнем k-м слое, три − на соответствующих местах верхнего k+1 - го слоя.

Решение (4.2) находится следующим образом. Воспользуемся начальным

условием (4.1) − зададим все значения uh на нулевом слое при k = 0	u	0	= u0 (x ).
	i			i
Используя (4.2), для нахождения таблицы решения на следующем k +1				слое

решаем методом прогонки систему с трехдиагональной матрицей при следующих коэффициентах:

a uk+1

+ b uk+1

+ c uk+1

= d

uk+1 =α,

uk+1

= β;

i = 2... n.

i i−1

i i

i i+1

ai =

ωrτ

gi−1/ 2

; ci =

ωrτ

gi+1/ 2

; bi = −ai

− ci −1; ai =

(1 −ωr )τ

gi−1/ 2 ;

(1 −ωr )τ

gi+1/ 2 ; bi = −ai

− ci +1; di = − aiui−1

+ biui

+ ciui+1

−τ fi .

В результате все значения на 1-м слое будут найдены. После этого переходим к вычислению значений на втором слое и т.д. до слоя K.

Заметим, что изменяя весовой параметр ωr , регулирующий распределение разностного оператора Lxuh , между соседними слоями k и k +1 можно изменять свойства конечно-разностной схемы. Так, при ωr = 0 , когда разностный оператор привязан к нижнему слою, получим явную ( aik+1 = cik+1 = 0, bik+1 =1)

схему: для получения значений uik+1 нет необходимости решать систему уравнений типа (4.6). Такая явная схема имеет погрешность аппроксимации o(τ1 + h2 ) и условно устойчива, т.е. ее можно использовать лишь при τ < h2 / 4 . Другой предельный случай ωr =1 соответствует чисто неявной схеме, когда

Lxuh привязан к верхнему слою ( di = uik ). Этот вариант схемы также имеет первый порядок аппроксимации по времени, т.е. o(τ1 + h2 ) , однако, она безусловна устойчива (при любых τ ) и константа устойчивости C0 значительно

меньше, чем у схемы Кранка-Николсона. Поэтому чисто неявную схему используют или при расчетах быстро изменяющихся во времени процессов, или при нахождении стационарных режимов методом установления. В последнем случае сам процесс установления не важен для приложений и для ускорения сходимости ωr и τ выбирают эмпирически в широких пределах 0 <ωr ≤ 2 , до-

биваясь установления процесса за минимальное количество шагов по времени.

5.2. Задача Дирихле для двухмерного уравнения Пуассона

	∂	g(x, y,u) ∂u		+	∂	g(x, y,u)				∂u	= f .

	∂x		∂x		∂ y					∂ y
Область интегрирования Ω ={0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b}.
На границе Г :			u(0, y) =α0 ( y);				u(a, y) =α1( y);
			u(x,0) = β0 (x);				u(x,b) = β0 (x).
Выбираем равномерную				сетку ω			h h	y	={(i −1)hx , ( j −1)hy , i =
							x

(5.3)

1...n1, j =1...m1}.

При нахождении таблицы

{

u(x , y )

разбиваем область Ω на подобла-

i i

}

сти Ωij ={xi−1/ 2 ≤ x ≤ xi+1/ 2 , yi−1/ 2 ≤ y ≤ yi+1/ 2}

и построим следующую конечно-

разностную схему:

gi−1/ 2, j

ui−1, j −(gi−1/ 2, j + gi+1/ 2, j )

ui, j + gi+1/ 2, j

ui+1, j

gi, j−1/ 2

ui, j−1 −

(gi, j−1/ 2 + gi, j+1/ 2

)

ui, j

+ gi, j+1/ 2

ui, j+1

hy2

= Lx

, j ;

i = 2... n1, j = 2... m1.

ui, j + Ly

ui, j

(5.4)

После дополнения уравнений

=α0 ;

n1 j

=α1

; j = 2... m,

= β0 ;

= β1;

1 j

i1m

i = 2...n получаем полностью определенную систему алгебраических уравне-

ний. Эта система имеет ленточную пятидиагональную матрицу, так как каждое уравнение связывает значение решения в пяти смежных узлах сетки (пятиточечный шаблон «крест»).

Ввиду очень большого количества неизвестных, решение системы (5.4), как правило, получают одним из итерационных методов, среди которых наибо-

лее часто используются метод простой итерации. Его модификация - метод Зейделя с последовательной релаксацией или более эффективный метод про- дольно-поперечной прогонки.

Метод простой итерации с релаксацией реализуется следующим обра-

зом: выразим в каждом уравнении (4.4) диагональный элемент и запишем следующую итерационную схему ( k −номер итерации):

%k +1

+ eij ,

uij

= aijui−1, j +bijui+1, j + cijui, j−1

+ dijui, j+1

k +1

%k +1

(5.5)

uij

=ωruij

+ (1−ωr )uij .

Здесь 0 <ωr < 2 − некоторый эмпирически подбираемый параметр, получив-

ший название параметр релаксации. Если процесс сходимости монотонный и очень медленный, то для его ускорения обычно выбирают 1 ≤ωr , что соответ-

ствует верхней релаксации. Если процесс развивается в виде ярко выраженных расходящихся колебаний, то его «релаксируют», выбирая ωr <1, что соответст-

вует нижней релаксации.

При программной реализации метода простой итерации используют два массива: Uk [1..n1, 1..m1] и Uk1[1..n1, 1..m1]. Вначале в массиве Uk помещается

начальное распределение u0 (xi , yi ) , после этого по формуле (5.5) получают ре-

зультат итерации в массиве Uk1. Затем массив Uk1 пересылается в Uk , и снова повторяется итерация до достижения условия сходимости.

Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что в нем используют только один массив Uk , а полученное по формуле (5.5) новое значе-

ние uijk +1 сразу засылается на место uijk и используется при вычислении следующих значений upk>+i1,l> j . За счет этого скорость сходимости возрастает при-

мерно вдвое. Однако следует отметить, что условия сходимости метода Зейделя более жесткие, поэтому если данный метод расходится при всех ωr , то реко-

мендуется попробовать использовать метод простой итерации.

Метод продольно-поперечной прогонки реализуется следующим образом.

Запишем для (4.34) итерационную схему:

k +1/ 2

−

k +1/ 2

+ L

x ij

y ij

ωr

(5.6)

k+1

−

k+1/ 2

k +1/ 2

+ L

k +1 =

x ij

y ij

ωr

здесь ωr ≤ min (a2 / n, b2 / m)

- эмпирически подбираемый параметр, аналогич-

ный шагу по времени в схеме (5.2); k +1/ 2 - промежуточный шаг итерации.

Вначале по заданному распределению

uij , используя первое уравнение

(4.6), находим

k+1/ 2 , решая для каждого

j = 2...m систему с трехдиагональной

матрицей:

k +1/ 2

+bk

k+1/ 2

+ ck

k+1/ 2

= d k ;

i−1, j

i, j

i+1, j

uijk

= g

i−1/ 2, j

; c

= g

i+1/ 2, j

; b

= −a

−c

−

; d

= h

− L u

−

y ij

После этого, используя второе уравнение (5.6), находим

k +1 , решая для каждо-

го i = 2...n систему с трехдиагональной матрицей:

ak +1

k+1

+bk+1

k+1 + ck+1

k+1

= d k+1,

i, j−1

i, j

i, j+1

k+1/ 2

ak+1

= g

i, j−1/ 2

; ck+1

= g

i, j

+1/ 2

; bk+1

= −ak+1

−ck+1

−

; d k+1

= h2

− L uk+1/ 2 −

uij

x ij

Метод продольно-поперечной прогонки является одним из самых эффективных методов решения двухмерных задач для уравнения типа теплопроводности. Его развитием для трехмерных уравнений является метод расщепления.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1414