4. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА МЕТОДОМ ПРОГОНКИ

Как отмечалось выше множество практически важных задач приводятся к краевой задаче для системы ОДУ второго порядка. При этом граничные условия на концах отрезка интегрирования задают связь между значением и производной функции для каждого такого уравнения.

Для решения таких систем обычно используют или метод прогонки, аналогичный описанному выше для задачи, или метод пристрелки. При реализации последнего система ОДУ второго порядка преобразуется к системе четного числа уравнений первого порядка вида со специфическими граничными условиями: каждое условие задает связь между значениями uk и uk+1 на границах.

Такую систему назовем парной системой дифференциальных уравнений.

В соответствии с методом пристрелки краевую задачу приводят к решению ряда задач Коши, для чего дополняют недостающие начальные условия при x=0 пристрелочными параметрами и подбирают их таким образом, чтобы после решения задачи выполнились все заданные условия на другом конце интервала.

Существует, однако, класс таких систем, для которых, с одной стороны, метод обычной прогонки неустойчив, а с другой стороны, задача Коши некорректна. Такие системы возникают, например, при расчете нерегулярных волноводов. Ниже приведен устойчивый алгоритм матричной прогонки для таких систем парных уравнений.

Здесь, например, Ak – значение функции в соответствующем ДУ второго порядка, а Bk – значение ее производной.

Зададим граничные условия к (4.1) в виде

Как видно, эти условия задают связь между Ak и Bk. Для расчетов выберем равномерную сетку

ωh ={(i −1)h, h = b / n, i =1... n1, n1 = n +1}

и трехточечную конечно-разностную неявную схему Адамса третьего порядка

Заметим, что эта схема приводит к блочной трехдиагональной матрице с преобладающим диагональным элементом. После приведения подобных членов в

47

dri = 12h (5 fri+1 +8 fri − fri−1 ),

здесь E −единичная диагональная матрица.

Систему (3.4) следует дополнить одним недостающим конечно-

Структура матрицы конечно-разностной схемы (4.4), (4.5) представлена на рис.3.1. Здесь размер ячеек 2Мх2М, кроме первой и последней строк, в которых ячейки имеют размер Мх2М. Матрица получается ленточной.

Для решения системы уравнений с такой матрицей разработан эффективный метод прогонки на основе модификации метода Гаусса.

48