сти погрешности решения является еще требование устойчивости конечноразностной схемы к ошибкам округления.

Теоретическое исследование устойчивости конечно-разностной схемы сводится обычно к доказательству того, что малые возмущения fh − f%h правой части (или начальных данных) системы приводят к малым изменениям решения

Основная теорема теории метода сеток утверждает, что если схема ус-

тойчива и аппроксимирует исходное ДУ, то при h → 0 погрешность решения εh стремится к нулю с тем же порядком, что и погрешность аппроксимации:

3.2Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

3.2.1.Задача Коши

формул, после чего получаем систему уравнений относительно приближенных неизвестных значений искомой функции uh :

здесь xj - точки внутри интервала, используемые для получения квадратурной формулы.

Структура конечно-разностной схемы (3.15) для задачи Коши такова, что она устанавливает закон рекуррентной последовательности urk+1 =ϕ(urk ) для

искомого решения ur0 , ur1, ur2 , ..., urn . Поэтому, используя начальное условие

42

задачи (3.13) и задавая ur0 =ur0 , затем по рекуррентным формулам последовательно находят все urk , k =1, ..., n.

При замене интеграла приближенной квадратурной формулой вносится погрешность аппроксимации дифференциального уравнения разностным, которая получается как невязка, если в конечно-разностном уравнении (3.15) под-

Воспользовавшись соотношением (3.14), получаем простое выражение для вычисления ψk (h) :

Таким образом порядок погрешности аппроксимации на единицу меньше порядка погрешности квадратурной формулы, используемой в (3.15).

Явная схема 1-го порядка (Эйлера)

Заменим интеграл в (3.14) по формуле левых прямоугольников:

Погрешность аппроксимации ψ(h) и соответственно точность ε(h) имеют первый порядок в силу того, что формула левых прямоугольников на интервале [xx , xk+1] имеет погрешность второго порядка, а схема устойчива.

Неявная схема 1-го порядка

Эта схема неразрешима явно относительно u k+1 , поэтому для получения u k+1 требуется использовать итерационную процедуру решения уравнения (3.19) (см. метод простой итерации в подразд.1.4):

шага. Обычно, если h выбрано удачно, достаточно сделать 2, 3 итерации для

43

достижения заданной погрешности urk+1, s −urk+1, s−1 <ε . Эффективность неяв-

ной схемы заключается в том, что у нее константа устойчивости С0 значительно меньше, чем у явной схемы.

Так как формула трапеций имеет третий порядок точности, то погрешность аппроксимации ψ(h) - второй.

Схема (3.20) не разрешена относительно u k+1 , поэтому требуется итерационная процедура (см.(4.19)):

однако наибольшее распространение получила реализация предиктор-

Многошаговые схемы Адамса

При построении всех предыдущих схем для вычисления интеграла в правой части (3.14) использовались лишь точки в диапазоне одного шага [xk , xk+1].

Поэтому при реализации таких схем для вычисления следующего значения u k+1

необходимо знать только одно предыдущее значение u k , т.е. рекуррентная последовательность получается первого порядка. Такие схемы называют одношаговыми. Мы, однако, видели, что для повышения точности при переходе от xk к приходилось использовать и значения функции F внутри интервала

44

[xk+1/ 2 , urk+1/ 2 ] . Схемы, в которых это используется, называют схемами с дроб-

ными шагами. В этих схемах повышение точности достигается за счет дополнительных затрат на вычисление функции F(x) в промежуточных точках интервала [xk , xk+1].

Идея методов Адамса заключается в том, чтобы для повышения точности использовать уже вычисленные на предыдущих шагах значения u k , urk−1, urk−2 , ....

Заменим в (3.14) F(x) интерполяционным многочленом Ньютона вида

F(x) ≈ F(xk ) + (x − xk ) F(xk ) −hF(xk−1) +

+(x − xk )(x − xk−1) F(xk ) − 2F(xk−1) + F(xk−2 ) + ... .

2h2

После интегрирования на интервале [xk , xk+1] получим явную экстраполяци-

онную схему Адамса. (Экстраполяцией называется получение значений интерполяционного многочлена в точках x, выходящих за крайние узлы сетки). В нашем случае интегрирование производится на интервале [xk , xk+1], а полином

строится по узлам xk , xk−1, xk−2 .

Порядок аппроксимации схемы в этом случае определяется количеством использованных при построении полинома узлов (например, если используются xk , xk−1, то схема второго порядка).

Если в (3.14) заменим F(x) многочленом Ньютона вида

F(x) ≈ F(xk+1) + (x − xk+1) F(xk+1)h− F(xk ) +

+(x − xk+1)(x − xk ) F(xk+1) − 2F(xk ) + F(xk−1) +... , 2h2

то после интегрирования получим неявную интерполяционную схему Адамса. Заметим, что неявная интерполяционная схема второго порядка совпадает со схемой (3.20).

Схема двухшаговая, поэтому для начала расчетов необходимо найти u1 по методу (3.20), после чего ur2 , ur3, ... , вычислять по (3.23).

45

Чаще всего бывает достаточно одной итерации. Если при этом разность urk+1,0 −urk+1,1 оказывается большой, то следует уменьшить h.

46