3.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА СЕТОК

3.1.Теоретические основы метода сеток

До появления вычислительных машин для решения дифференциальных уравнений использовались в основном приближенные методы, основанные на поиске решения в виде разложения его в ряд по некоторому параметру. Эти методы обычно требуют очень глубоких аналитических исследований решаемой задачи и поэтому не могут быть универсальными.

Прогресс в области вычислительной техники позволяет разрабатывать универсальные алгоритмы решения дифференциальных уравнений, требующие от пользователя лишь корректно поставить задачу и правильно задать программе начальные и граничные условия. Одним из наиболее широко используемых универсальных методов решения задач для дифференциальных уравнений является метод сеток.

Суть метода сеток в том, что решение ДУ получают в отличие от классических методов не в виде некоторой комбинации функций, а в виде достаточно подробной таблицы значений искомого решения в узлах сетки, покрывающей область определения решения (область исследуемого поля). При этом получаемая таблица должна обладать свойством аппроксимации, т.е. возможностью восстановления всех значений искомого точного решения с заданной погрешностью.

Постановка задачи

Будем иллюстрировать реализацию метода сеток на решении простейшей

В общем случае задачу Дирихле для дифференциального уравнения запишем в виде

где L - дифференциальный оператор u = u(x) , Г - граница многомерной об-

ласти Ω, внутри которой необходимо получить решение. В рассматриваемом частном случае Ω представляет собой отрезок [0,b], Г - точки [0], [b].

Решение методом сеток предполагает следующие этапы.

1. Построение сетки, представляющей собой набор узлов (точек), «рав-

38

случае hr = (hx , hy ,...) ) является основным параметром метода сеток. Главное

требование к выбору сетки состоит в том, чтобы при h → 0 узлы сетки покрывали все точки Ω, а при конечном h таблица должна обладать хорошими аппроксимационными свойствами.

2. Получение конечно-разностной схемы. Решение u(x) ищется в виде таблицы значений в узлах выбранной сетки uh ={ui = u(xi )}(для двухмерной области uh ={uij = u(xi , y j )}). При этом дифференциальное уравнение заменяет-

ся системой алгебраических уравнений, связывающих между собой значения искомой функции в соседних узлах. Такая система алгебраических уравнений называется конечно-разностной схемой.

Для записи конечно-разностной схемы, полученной для уравнения (3.2),

разностной схемы значения искомой функции u(x) в узлах сетки. Ввиду погрешностей расчета значения uh заведомо будут отличны от точных значений uh , поэтому расчетные значения будем отмечать «крышкой»; Lh - оператор, обычно это матрица системы; fh − таблица усредненных значений функции f (x) в узлах сетки.

Имеется несколько способов получения конечно-разностной схемы. Приведем для примера один из универсальных – интегроинтерполяционный. Согласно этому способу, область Ω = [0,b] разобьем на элементарные непересе-

В результате из (3.4) получаем следующую конечно-разностную схему, каждое уравнение которой связывает значения таблицы в трех смежных узлах сетки (т.е. используется трехточечный шаблон):

39

ем граничных условий (3.1), имеем систему из n +1 уравнений с n +1 неизвестными, которая является конкретной реализацией общей записи (3.3).

3. Решение системы конечно-разностных уравнений. Если коэффициен-

ты исходного дифференциального уравнения g и f не зависят от u , конечно-

разностная схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей. В нашем примере одномерная задача (3.5) приводится к следующей стандартной системе с трехдиагональной матрицей вида:

здесь n1 = n +1; b1 =1; c1 = 0; d1 =α; an1 = 0; bn1 =1; dn1 = β;

Решение такой системы получают эффективным методом прогонки, который реализуется в 2 цикла:

1) прямой ход

причем хотя бы для одного i 1...n1 должно быть выполнено строгое неравенство. В нашем примере b1 > c1 и bn1 > an1 .

В случае нелинейной задачи, когда g(x,u) , f (x,u) , решение (3.6) ищется итерационным методом задается некоторое начальное приближение искомого решения uh0 , находятся gh (uh0 ), fh (uh0 ), ai , bi , ci , di , после чего решается система (4.6) и находится новое приближение uh1 . Итерации производятся до

достижения сходимости или же до констатации расходимости итерационного процесса.

4. Нахождение погрешности аппроксимации. При замене дифференци-

ального уравнения системой алгебраических уравнений вносится так называе-

40

мая погрешность аппроксимации конечно-разностной схемой дифференци-

ального уравнения, которая получается следующим образом: подставим в ко- нечно-разностную схему (3.3) вместо uh значения точного решения uh . Ввиду

того, что Lhuh − fh = 0 , но uh ≠ uh , после такой подстановки получается невязка:

Эта невязка и называется погрешностью аппроксимации. Если погрешность аппроксимации велика, то, естественно, никакого приближения полученного решения к искомому нет. Поэтому основное требование к конечно-разностной схеме – погрешность аппроксимации должна стремиться к нулю при h → 0 , т.е. должна иметь место оценка:

Сψ не зависит от h ; р – порядок погрешности аппроксимации.

Нахождение и оценка погрешности аппроксимации обычно осуществляются без труда с использованием разложения решения в ряд. Например, для нашей

Используем начальные члены разложения u (x) в ряд Тейлора:

тывая, что υ′(xi ) = f (xi ), получим окончательную оценку ψh o(h2 ) .

Таким образом, полученная нами оценка конечно-разностной схемы (3.5) имеет погрешность аппроксимации второго порядка.

5. Оценка погрешности решения и проверка устойчивости схемы. Раз-

Аппроксимация является необходимым, но еще не достаточным условием того, чтобы погрешность решения εh было мала. Необходимым условием мало-

41