Экономическая интерпретация ограничений двойственной задачи

Для интерпретации ограничений двойственной задачи используем формулу2. В соответствии с этим соотношением на любой итерации решения прямой задачи справедливо равенство

коэффициент при x_j в z-строке =

Условие оптимальности симплекс-метода в задаче максимизации говорит о том, что j-й вид деятельности (переменная x_j), не представленный в текущем базисном решении, можно ввести в базис для увеличения дохода только тогда, когда коэффициент при X_j в z-строке будет неотрицательным. В рамках предлагаемой экономической интерпретации это означает, что j-й вид деятельности должен быть представлен в базисном решении, если выполняется следующее неравенство.

Таким образом, условие оптимальности (в задаче максимизации) говорит о том, что деятельность любого вида следует наращивать до тех пор, пока доход от нее превышает возможные издержки.

Приведем стандартные определения, используемые в литературе по линейному программированию. Введем обозначение

Величина z_jпредставляет суммарную стоимость ресурсов, используемых на производство единицы продукции j-го вида деятельности. Величина z_j- с_j равна коэффициенту при в z-строке симплекс таблицы и часто называется приведенной стоимостью (приведенными издержками) j-го вида деятельности. В некоторых случаях разности используются непосредственно для вычисления коэффициентов в z-строке симплекс таблицы (вместо метода Гаусса-Жордана). Такие вычисления используются в модифицированном симплекс-методе.

значения целевой функции, пока не будет достигнута точка оптимума. Такой алгоритм иногда называют прямым симплекс-методом. В этом разделе рассмотрим две другие разновидности симплекс-метода: двойственный симплекс-метод и обобщенный симплекс-метод. В двойственном симплекс- методе решение задачи ЛП начинается с недопустимого, но лучшего, чем оптимальное, решения. Последовательные итерации этого метода приближают решение к области допустимости без нарушения оптимальности (точнее, "супероптимальности") промежуточных решений. Когда будет достигнута область допустимых решений, процесс вычислений заканчивается, так как последнее решение будет оптимальным. В обобщенном симплекс-методе комбинируются элементы прямого и двойст- венного методов. Начальное решение в этом методе будет и неоптимальным, и недопустимым. На последующих итерациях базисные решения могут быть как допустимыми, так и недопустимыми. На последней итерации решение должно быть и оптимальным, и допустимым (если, конечно, такое решение существует). Эти три алгоритма — прямой, двойственный и обобщенный — дают основу для проведения анализа чувствительности.

Двойственный симплекс-метод

Так же, как и в прямом симплекс-методе, основная проблема двойственного симплекс-метода состоит в том, чтобы на каждой итерации получить "правильное" базисное решение. Для реализации двойственного симплекс- метода разработаны следующие два условия, выполнение которых гарантирует оптимальность последовательных промежуточных решений и приближение их к области допустимых решений. Двойственное условие допустимости. В качестве исключаемой переменной хг выбирается базисная переменная, имеющая наибольшее по абсолютной величине отрицательное значение. Если таких переменных несколько, то выбор произволен. Если все базисные переменные неотрицательные, процесс вычислений заканчивается. Двойственное условие оптимальности. Вводимая в базис переменная определяется как переменная, на которой достигается следующий минимум:

где z₁ – c₁ — коэффициент в z-строке симплекс-таблицы, соответствующий переменной x_j a_j — отрицательный коэффициент из симплекс-таблицы, расположен- ный на пересечении ведущей строки (соответствующей исключаемой переменной хг) и столбца, соответствующего небазисной переменной хг При наличии несколь- ких альтернативных переменных выбор делается произвольно. Отметим, что двойственное условие оптимальности гарантирует достижение оптимального решения.

Чтобы существовало начальное оптимальное ("супероптимальное") и недопустимое решение, необходимо выполнение двух условий.

1. Целевая функция должна удовлетворять условию оптимальности обычного

симплекс-метода .

2. Все ограничения должны быть неравенствами типа "≤".

Второе условие можно удовлетворить простым умножением на -1 неравенств типа "≥". Если есть ограничения в виде равенств, то эти равенства заменяются на два не- равенства. Например, равенство х₁ + х₂ = 2 эквивалентно двум неравенствам

Разновидности симплекс-метода

После преобразования всех ограничений в виде неравенств типа "<" начальное недопустимое решение возможно тогда и только тогда, когда по крайней мере в одном неравенстве правая часть будет строго отрицательной. В противном случае двойственный симплекс-метод не применяется, поскольку возможное начальное решение уже оптимально и допустимо.

Дана следующая задача ЛП.

Минимизировать z = Зх₁ + 2х₂

при ограничениях

Сначала первых два неравенства умножаются на -1, чтобы привести их к неравенствам типа "≤". Начальная симплекс-таблица этой задачи имеет следующий вид.

Поскольку Z_j - C_j ≤ 0 для всех у₁ = 1, ..., 5, начальное базисное решение

(х₃ = -3, х₄ = -6, х₅ = 3) является оптимальным и недопустимым. Двойственное условие допустимости указывает на переменную х₄ (= -6) как на исключаемую из базиса. Теперь применим двойственное условие оптимальности для определения вводимой переменной. Для этого используем следующую таблицу.

Приведенные отношения показывают, что вводимой переменной будет х₂. Отметим, что переменные x_i будут кандидатами на включение в базисное решение только тогда, когда коэффициент atj будет строго отрицательным. По этому критерию переменные х₃, х₄ и х₅ не рассматриваются как кандидаты на включение в базис.

Следующая таблица получена с помощью известных операций над строками, применяемых в прямом симплекс-методе.

Последняя таблица показывает, что из базиса исключается переменная х₃ и вводится x₁,. В результате получаем следующую симплекс-таблицу.