Вычисление симплекс-таблиц

В этом разделе будет показано, как на основе исходных данных задачи вычисляется симплекс-таблица и как вычисляется обратная матрица на каждой итерации. С учетом структуры симплекс-таблиц, все эти вычисления можно разбить на две группы.

Соотношения между прямой и двойственной задачами

1. Вычисление значений в столбцах ограничений симплекс-таблицы (как ле- вой, так и правой частей ограничений).

2. Вычисление значений в 2-строке. Вычисление значений в столбцах ограничений. На произвольной симплекситерации значения коэффициентов в столбцах левой и правой частей ограничений вычисляются по следующей формуле 1.

Вычисление значений z-строки. На произвольной симплекс-итерации значения коэффициентов в z-строке вычисляются по следующей формуле 2.

Отметим, что формула 2 такая же, какая используется в методе 2 для определения оптимального решения двойственной задачи.

На основе задачи покажем, как использовать формулы 1 и 2. Из оптимальной симплекс-таблицы этой задачи получаем

обратная матрица =

С помощью формулы 1 вычислим коэффициенты в столбцах ограничений оптимальной симплекс-таблицы.

Аналогично вычисляются другие столбцы коэффициентов ограничений.

Теперь применим формулу 2 для вычисления коэффициентов в г-строке. Оптимальные значения двойственных переменных (у₁, у₂) = 29/5, -2/5) вычислены двумя различными методами. Эти значения используются для вычисления коэффициентов в z-строке.

Важно отметить, что формулы 1 и 2 можно применять на любой симплекс- итерации как к прямой, так и к двойственной задаче.

Экономическая интерпретация двойственности

Задачу линейного программирования можно рассматривать как модель распределения ограниченных ресурсов, в которой целевая функция, отображающая прибыль или доход от производственной деятельности, подлежит максимизации. Если рассматривать задачу ЛП с этой точки зрения, соответствующая ей двойственная задача получает интересную экономическую интерпретацию. Чтобы формализовать рассматриваемый вопрос, приведем еще раз общее представление прямой и двойственной задач, причем прямая задача будет играть роль модели распределения ресурсов. Исходя из модели распределения ресурсов, прямая задача отображает п видов экономической (производственной) деятельности и возможности получения т ресурсов. В прямой задаче коэффициент с} представляет собой прибыль на единицу продукции j-го вида экономической деятельности, причем на единицу продукции этого вида деятельности расходуется ац единиц ресурса a_i, максимальные запасы которого ограничены величиной b_t.

.

Экономическая интерпретация переменных двойственной задачи

Соотношение устанавливает, что для любой пары допустимых решений прямой и двойственной задач значения (конечные) их целевых функций удовлетворяют неравенству

Строгое равенство здесь достигается только тогда, когда решения прямой и двойственной задач оптимальны.

Рассмотрим сначала вариант оптимума, т.е. когда Исходя из представления прямой задачи как модели распределения ресурсов, можно считать, что величина z соответствует величине дохода (в долларах³). Поскольку i— общее доступное количество ресурса i, равенство z = w можно переписать следующим образом.

Доход (долл.) =∑ (количество ресурса i) x (доход (долл.) на единицу ресурса i).Это означает, что переменная yt двойственной задачи должна представлять стоимость единицы ресурса i. (Данное понятие уже вводилось в разделе 2.3.3, исходя из графического представления задачи Л П.) В литературе по исследованию операций переменные yt двойственной задачи часто называют двойственными ценами. Кроме того, иногда их именуют теневыми ценами и симплексными мультипликаторами. Аналогично для любой пары допустимых решений прямой и двойственной задач неравенство z≤w можно интерпретировать следующим образом:

доход < общая стоимость ресурсов.

Это соотношение показывает, что до тех пор, пока суммарный доход от всех видов деятельности строго меньше суммарной стоимости всех используемых ресурсов, решение как прямой, так и двойственной задачи не может быть оптимальным. Оптимум (максимальный доход) может быть достигнут только тогда, когда все потребляемые ресурсы использованы полностью. Если модель ЛП рассматривать более обще как модель некой системы, имеющую "вход" и "выход", то потребляемые ресурсы характеризуют "вход" этой системы, а получаемый доход ее "выход". Система будет находиться в нестабильном (неоптимальном) состоянии, пока вход превышает выход. Устойчивое состояние системы характеризуется равенством входа и выхода.

Приведем формулировки прямой и двойственной задач, описывающие модель производства компании Reddy Mikks

Напомним вкратце, что в этой модели описывается производство двух видов краски (для внутренних и наружных работ) на основе двух видов сырья Ml и М2 (ресурсы 1 и 2) с учетом рыночных условий, выражаемых третьим и четвертым ограничениями. Зада- ча состоит в определении объемов производства красок каждого вида (в тоннах), при которых будет получен максимальный доход (в тыс. долл.).

Оптимальное решение двойственной задачи показывает, что стоимость единицы первого ресурса (сырье Ml) составляет у₁ = 0,75 (или 750 долл. за тонну), а второго (сырье М2) — у₂ = 0,5 (или 500 долл. за тонну). Графически по- казали, что приведенные значения стоимостей справедливы, если значение первого ресурса не выходит из интервала B0, 36), а второго — из интервала D, 6,67) Таким образом, расход сырья Ml может возрасти с 24 до 36 тонн, что приведет к соответствующему увеличению дохода на величину12 х 750 = 9000 долл. Аналогично количество вто- рого ресурса (сырье М2) можно увеличить с 6 до 6,67 тонн с увеличением дохода на величину 0,67 х 500 = 335 долл. Но еще раз напомним, что подобные расчеты при- менимы только тогда, когда увеличение числа используемых ресурсов не выходит за приведенные выше интервалы значений. Конечно, это не означает, что количе- ство используемых ресурсов в принципе не может выходить за указанные пределы. Однако приведенные выше стоимости ресурсов определены только для ситуации, когда количество этих ресурсов не выходит за указанные пределы.

Для третьего и четвертого ресурсов двойственные цены (оптимальное решение двойственной задачи) равны нулю. Это указывает на то, что данные ресурсы неде- фицитны. Поэтому их стоимость равна нулю.

Электротехническая компания NWAC производит четыре типа кабеля для оборонного ведомства. Каждый тип кабеля подвергается четырем последова- тельным операциям: разделка, пайка, оплетка и проверка. В следующей таб- лице приведены данные, характеризующие производство кабелей.

a) Сформулируйте задачу линейного программирования и с помощью про-граммы TORA найдите ее оптимальное решение.

b) Основываясь на двойственных ценах, приведенных программой TORA, определите возможное увеличение ежедневного фонда времени по каждой технологической операции.

c) Выгодно ли компании выполнение требования заданного минимального уровня производства? Обоснуйте ответ, основываясь на величинах двой- ственных цен.

d) Возможно ли увеличение на 10% временного фонда операции пайки с со- хранением величины ее вклада в суммарный доход, определяемый текущей двойственной ценой?

Компания производит кожаные чехлы и сумки. На производство одного чех-ла требуется 8 м2 кожи и 12 часов рабочего времени, на производство сумки — 2 м2 кожи и 5 часов рабочего времени. Текущие еженедельные ресурсы производства ограничены 1200 м2 кожи и 1850 часами рабочего времени. Компания продает чехлы и сумки по цене 350 и 120 долл. соответственно. Определите для этой компании схему производства, максимизирующую чис-тую прибыль. Допустим, компания желает расширить свое производство. Какова максимальная цена, по которой компании имеет смысл закупать до-полнительную кожу? А какова допустимая максимальная цена дополни-тельных трудовых ресурсов?