8.Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

Df: Случ назыв. дискретными, если она прим. конечн. или бесконечн. мн-во значений.

Df: Отношение устанавливающее связь между всевозможными значениями случ величины и соответствующими этим значениям вероятностями назыв. закон распределения случ величины.

Существ несколько способов отображ данного закона:

1) аналитич. –представ из себя ряд распределения в виде таблицы:

x_i | x₁ | x₂ | … | x_n

P_i | P₁ | P₂ | … | P_n

2) Графический:

многоугольник распределения

9.Непрерывные СВ. Плотность распределения вероятностей случайной величины.

СВ наз непрерывной, если она принимает бесконечное мн-во значений из некот промежутка: конечного или бесконечного.

СВ наз непрерывной, если её ф-ция распределения непрерывно дифф-ма

СВ наз непрерывной, если сущ такая ф-ция f(x)≥0, ¥ x€R такая что ф-ция распр представима: F(x) = ∫ f(x)dx

Ф-ция f(x) наз плотностью распределения СВ х, при чём выполн ∫ f(x)dx=1

10. Числовые характеристики случайных величин ( математическое ожидание, мода, медиана). Свойства математического ожидания.

1.Математическое ожидание

М(х) = ∫ х*f(x)dx

2.Мода

Модой для непрер СВ наз такое знач СВ при кот ф-ция распределение принимает максим знач.

f(Mo) = max

3.Медиана

Медианой для непрер Св наз такое знач СВ при кот ф-ция распред принимает знач. ½

F(Me) = ½

Свойства матем. ожидания

1.МО постоянной величины = самой постоянной величине

М(С) = С

2.Для 2-х любых СВ Х и У, МО суммы СВ = сумме МО этих СВ

М(Х+У) = М(Х)+М(У)

3.Постоянная величина выносится за МО без изменений

М(СХ) = С*М(Х)

4.Для 2-х независимых СВ Х и У, МО произведения = произведению МО

М(Х*У) = М(Х)*М(У)

11. Дисперсия св и ее свойства. Моменты распределения св. Асимметрия и эксцесс.

Df Под дисперсией понимается математическое ожидание квадрата отклонения случайных величин: Д(x)=M(x-M(x))²

Свойства:

1)Д(x)≥0.

2)Д(const)=0.

Д(c)=M(c-M(c)) ²= M(c-c) ²=M(0) ²=0

3)Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии возведенным в квадрат:

Д(кx)=к ²Д(x)

До-во: Д(кx)= M(кx-M(кx))²= M(кx-кM(x))²= к²M(x-M(x))²= к² Д(x)

4)Д(x)=M(x)²-(M(x))²

До-во: M(x-M(x))²=М(x²-2xM(x)+(М(x))²)=M(x)²-4 M(x M(x))+ M(x M(x)) ²= M(x)²-(M(x))²

5) Для 2-х независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

Д(х+y)=M(x+y)²-(M(x+y))²=M(x²+2xy+y²)-(M(x)+M(y))²= M(x²)+M(2xy)+M(y²)-(M(x))²-2M(x)M(y)-(M(y))²= M(x²)+ M(y²) -(M(x))²-(M(y))²=Д(x)+Д(y)

6). Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий : D(X-Y)=D(X)+D(Y)

Док-во:

D(X-Y) = D(X) + D([-1]Y) = D(X) + ([-1]^2)*D(Y) = D(X) + D(Y)

7). Д(С+Х) = Д(Х)

Док-во:

Д(С+Х) = [см св 5] = Д(С)+Д(Х) = 0+Д(Х) = Д(Х)