4. Свойства вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность.

Теорема сложения ¥ 2х произвольных случайных событий A и B справедлива следующая формула: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Док-во: А+В=А+В*(неА)

Р(А+В)=Р(А+В*(неА))=Р(А)+Р(В*(неА)) (1)

В=В*(неА)+А*В

Р(В)= Р(В*(неА)+А*В)=Р(В*(неА))+

Р(АВ) (2) . Выразив из (2)Р(В*(неА))

и подставив в (1) получим:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

События А и В называются независимыми, если вероятность А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А зависит от того, произошло или не произошло событие В. Вероятность события А, вычисленная при условии, что В имело место, называется условной вероятностью Р(А/В).

СВОЙСТВА УСЛОВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

1. Пусть В подмножество множества А, тогда условная вероятность события А=1.

Р_В(А)=1

Док-во.Р_В(А)=Р(АВ)/Р(В)=Р(В)/Р(В)=1.

2. Условная вероятность достоверного события =1.

Р(Ώ)=1

Док-во: Р_В(Ώ)=Р(ВΏ)/Р(В)=Р(В)/Р(В)=1

3. Условная вероятность невозможного события =0.

Р(Ø)=0

Док-во: Р_В(Ø)=Р(ВØ)/Р(В)=Р(Ø)/Р(Ø)=0

4. Р_В(А₁+А₂)=Р_В(А₁)+Р_В(А₂)

5)Р_А(А)=1

6)Р_В(А)+Р_В(неА)=1

5.Теорема умножения. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Теорема умножения вероятности ¥ 2х случ. событий A и В справедливо P(AB)=P(A)Pa(B)

P(AB)=P(B)Pb(A)

Док-во: Поскольку по Df условной вероятности Pb(A) = P(AB)/P(B) , P(AB) = P(B)*Pb(A)

Независимые события

Df 2 события наз. независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого. P(A/B)=P(A), P(B)>0 P(B/A)=P(B), P(A)>0

Теорема если 2 случ. события А и В являются независимыми, то вер-ть произведения данных событий является произв-ем вер-ей. P(AB)=P(A)*P(B)

Док-во: P(AB) = P(A)*Pa(B), т.к. А и В независимы, то Pa(B)=P(B) => P(AB)=P(A)*P(B)

Для введения формулы полной вероятности необходимо ввести понятие полной группы событий:

Df: Событие A1,A2,…,An образуют полную группу событий, если выполняются следующие условия:

1) События попарно несовместны: Ai*Aj=Ø, I,j=от 1 до n

2) Хотя бы одно из этих событий обязательно происходит P(∑Ai)=∑P(Ai)=1 где i от 1 до n

Теорема: Вероятность события A которое может произойти только вместе с одним из событий H1,H2,…,Hn которые образуют полную группу событий определяется по формуле

P(A)=∑P(Hi)*P_Hi(A) где i от1 до n

Д-во: A = AH1+AH2+…+AHn

P(A)=P∑(AHi)=∑P(HiA)=∑P(Hi)* P_Hi(A)

Теорема Байеса: Пусть соб. A может произойти только в сочетании с одним из событий H1, H2, …, Hn, которые образуют полную группу событий. Тогда вероятность P(Hk),(k от 1 до n) вычесленная при усл, что событие B уже произошло определяется фор-ой: P_A(Hk)=P(Hk)*P_Hk(A)\P(A), где P(A)=∑P(Hi)* P_Hi(A)

Д-во: P_A(Hk)=P(Hk*A)\P(A)- [по Df услов.] =P(Hk) P_Hk(A)\P(A)

6.Схема Бернулли. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

а. Пусть производятся n независимых испытаний, в кот. может появиться случайное событ. А. Причём вероятность появления события А в каждом опыте постоянна и определена величиной p и вер-ть не появления А тоже величина постоянная и определяется : q=1-p, тогда вер-ть того, что случ. событие А появиться в m случаях из n (m<=n) будет определяться формулой: Pn(m)=Cn^mp^mq^n-m

Док-во данной формулы рассм. для частн. случаев, а затем использ. метод индукции распростран. на общий случай:n=3, m=2

C – то, что случайное событие А появится в 2 испытаниях из 3х.

Аi – случ событие А появ. в i-ом опыте, i=1,3. Тогда, учитывая, что соб. С имеет вид: C=A1A2Ẫ3 + A1Ẫ2A3+ Ẫ1A2A3

P(с)=P(А1А2Ẫ3+А1Ẫ2А3+Ẫ1А2А3)=Р(А1А2Ẫ3)+Р(А1Ẫ2А3)+Р(Ẫ1А2А3)=Р(А1)Р(А2)Р(Ẫ3)+ Р(А1)Р(Ẫ2)Р(А3)+Р(Ẫ1)Р(А2)Р(А3)

=p²q+p²q+p²q=3*p²q=C₃²p²q^3-2=Cmⁿp^mq^n-m

Частные случаи теоремы Бернулли:

1) n=m Pn(m)= Cnⁿpⁿq⁰=pⁿ

2) m=0 Pn(m)= Cn⁰p⁰qⁿ=qⁿ

3)Случайное событие А появ хотя-бы один раз в n испытаниях:

Pn(>=1)=Pn(0)+Pn(1)+ …+Pn(n)=1-Pn(0)=1-qⁿ

5)Событие А в n испытаниях произв менее, чем m раз: Cnⁿp⁰qⁿ+ Cn¹p¹q^n-1+…+ Cn^m-1p^m-1q^n-m+1

Теорема (Пуассона)

Пусть производится n независимых испытаний, в которых возможно появление случайного события А.

Причём вероятность появления А в каждом опыте, есть величина постоянная и определённая p, тогда, если значение n достаточно велико, а значение вероятности p<=0.01, то в этом случае вероятность события заключается в том, что случайное событие А появиться в m испытаниях из n можно определить формулой:

Pn(m)≈λ^m/m! e^-λ, где λ=np

Док-во: Pn(m)=Cn^mp^mq^m-n = (n!/(m!(n-m)!))*(λ/m)^m (1-λ/m)^n-m = (λ^m/m!)*((n(n-1)(n-2)*…*(n-m+1))/nm) * (1-λ/m)^{n/λ*λ/n*(n-m);}

λ/n (n-m) —_{n-> бескон}→ λ => Pn(m) = (1- λ/n)^{n/ λ} * λ^m/m! => Pn(m) ≈ λ^m/m! * e^-λ

7. Случайные величины. Функция распределения СВ и её свойства.

Величина наз. случайной, если в рез. некот. опыта из мн-ва своих знач. Она приним. Только одно, завис. от случ. причин. Обознач. большими лат. буквами, наиб часто – X, Y, Z.

Фун-ция распред СВ Х наз вер-ть того, что СВ Х примет знач меньше некот х :

F(x)=P(X<x), ¥ x € R

СВОЙСТВА :

1)Знач ф-ции распредел лежит в пределах от 0 до 1 : 0≤F(x)≤1

Док-во:

Поскольку по опр ф-ция распр есть вероятность, а вер-ть изменяется от 0 до 1 =>ф-ция распр измен от 0 до 1.

2)Если х1≤х2, то F(x1)≤F(x2)

Док-во:

А – СВ Х<х1

В – СВ X<х2

Т.к. по Сл из акс А c В, то Р(А)≤Р(В)=>Р(Х<х1)≤Р(Х<х2) =>F(х1) ≤F(x2)

3) Если х стремится к – бесконечности, то LimF(x)=0

4.)Если х стремится к бесконечности, то LimF(x)=1

5.)Вер-ть того, что С.В. примет значение из полуинтервала [a,b), равна разностиF(a)–F(b):

Р{a≤X≤b}=F(b)–F(a).

Док-во

А – СВ Х<a

В – СВ a≤X<b

С – CB X≥b

Т.к. три данных соб явл несовмест и образуют полную группу событий, то

Р(Ω)=Р(А+В+С)

1=Р(А)+Р(В)+Р(С)

Р(В)=1-Р(А)-Р(С)

Р(В)=Р(Ĉ)-Р(А)

Р(a≤X≤b)=Р(x<b)-P(x<a)= F(b) – F(a).

СЛ : Вер-ть того, что СВ Х примет конкр знач =0

Док-во:

Исп пред св-ва

Р(a≤X≤а+∆а)=F(а+∆а) – F(a), ∆а→0

Р(a≤X≤а+∆а)→F(a)-F(a)=0

Все СВ делятся на два типа:

1.Дискретная

2.Непрерывная