1. Предмет тв. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Операции над случайными событиями.

Предмет зародился в 18 в., математики в то время начали замечать закономерность в играх. В основе ТВ лежит понятие «случайное событие». DfСлучайным событием будем наз. событие, которое может либо произойти, либо не произойти при заданной совокупности условий.

Частным случаем случайного события явл. достоверное и невозможное события.

Df Достоверное событие–событие, кот. заведомо произойдёт при заданной совокупности условий.

Df Невозможное –событие, кот. заведомо не произойдёт при заданной совокупности условий.

Невозможное событие обозначают Ø, достоверное Ω, случайные-A,B,...,Z. Если событий больше, чем латинских букв, то обозначают А1, А2, …

В связи с тем, что наступление того или иного события зависит от многих случайных факторов, то ТВ не может сказать произойдёт конкретное событие или нет. Но при наблюдении за большим количеством одинаковых событий при одинаковой совокупности условий можно наблюдать закономерности появления событий, поэтому можно сказать, что ТВ занимается изучением закономерностей массовых случайных событий.

Пусть производится некоторый эксперимент, всевозможные исходы которого наз. элементарными условиями, если выполняются следующие условия:

1. исходы эксперимента равновозможны;

2. исходы эксперимента несовместны( наступление одного из исходов полностью исключает возможность наступления др. исходов эксперимента). Обозначают элементарны события ω_i.

Df: Множество всех элементарных событий наз. пространством элементарных событий и обозначается Ω, а любое подмножество пр-ва элементарных событий наз. случайным событием.

Df: Вероятностью случайного события А наз. отношение числа элементарных событий, входящих в А к общему числу всех элементарных событий входящих в Ω.: Р(А)=m/N

Свойства вероятности:

1. P(Ω)=1 – вероятность достоверного события равна 1.

д-во: P(Ω)=m/N=N/N=1;

2. P(Ø)=0 – вероятность невозможного события равна 0.

д-во: P(Ø)=m/N=0/N=0;

3. 0<=P(A)<=1.

Операции над случайными событиями:

1. Сложение

Df Суммой двух случайных событий А,В наз. такое событие С, при котором происходит хотя бы одно из событий.

2. Умножение

Df Произведением двух случайных событий А и В наз. такое событие С при котором происходи одновременное наступление событий А и В.

3. события А и В наз. несовместными если их произведение является невозможным событием.

4. противоположное событие

Df Противоположным событием события А наз. такое событие С, которое происходит каждый раз когда не происходит событие А.

2.Элементы комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания и их свойства). Частотное определение вероятности.

Комбинаторика изучает способы подсчёта числа эл-ов различных конечных мн-в

1.Перестановки. Пусть имеется некоторое множество, состоящее из n элементов X={x1,x2,...,xn}. Df Перестановками из n элементов наз. строки без повторений, состоящие из всех элементов множества Х. Будем обозначать P=n!

Пример: Имеются 4 карточки с буквами В,Т,С,Е. Случайным образом человек берёт по одной и выкладывоет их в ряд. Какова вероятность того, что образовалось слово СВЕТ.

А-образовалось слово СВЕТ Р(А)=m/N; m=1; Ω => N=4!=24 P(A)=1/24

2. размещение с повторениями Пусть имеется некоторое множество Х, состоящее из n элементов и пусть из этих элементов нам необходимо составить строку длины k, тогда размещением с повторениями наз. любая строка длины k, состоящая из элементов множества Х. A_n^k=n^k

Пример: В аудитории 6 окон, которые могут быть либо открыты, либо закрыты. Определить вероятность того, что человек, зашедший в аудиторию, увидит все окна открытыми: A-все окна открыты Р(А)=m/N=2/(2⁶)=1/64

3. Размещение без повторений Df Размещением без повторений из n элементов наз. строка длины k, состоящая из элементов множества Х (один элемент не может быть использован 2 и более раза) Ã_n^k=(n!)/((n-k)!)

Пример: Сколькими способами можно рассадить 2х человек в аудитории, к-во мест в которой равно 150.

4. сочетания Df Сочетанием из n по k элементов наз. любое подмножество мн-ва Х, состоящ. из k элементов и определяется формулой C_n^k=(n!)/(k!((n-k)!))

Свойства сочетаний:

1. C_n⁰=1

2. C_n¹=n

3. C_n²=n*(n-1)/2= C_n^n-2

Частотное определение вероятности позволяет получить вероятность события всего лишь с некоторой точностью, приближенно - в этом недостаток данного определения. Но зато частотное определение дает возможность найти вероятность события в весьма различных ситуациях, в частности и таких, где не удается указать равновозможные элементарные исходы - в этом несомненное преимущество данного определения. Неудивительно, что фактическое использование этого определения для отыскания вероятности тех или иных событий началось практически уже на первых этапах развития теории вероятностей.