Законы булевой алгебры

Упрощение формул в булевой алгебре (как и в любой другой алгебре) производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные законы (эквивалентные соотношения), которые в каждой алгебре - свои.

1. Ассоциативность дизъюнкции и конъюнкции:

х ₁  (х ₂  х ₃) = (х ₁  х ₂)  х ₃ = х ₁  х ₂  х ₃

х ₁  (х ₂  х ₃) = (х ₁  х ₂)  х ₃ = х ₁  х ₂  х ₃

2. Коммутативность дизъюнкции и конъюнкции:

х ₁  х ₂ = х ₁  х ₂ ; х ₁  х ₂ = х ₂  х ₁

3. Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции:

х ₁  (х ₂  х ₃) = (х ₁  х ₂)  (х ₁  х ₃)

4. Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции:

х ₁  (х ₂  х ₃) = (х ₁  х ₂)  (х ₁  х ₃)

5. Идемпотентность (отсутствие степеней и коэффициентов):

х  х = х; х  х = х

6. Закон двойного отрицания:

  х = х

7. Свойства констант 0 и 1:

х  1 = х; х  0 = 0

х  1 = 1; х  0 = х

 0 = 1;  1 = 0

8. Правило де Моргана:

 (х ₁  х ₂) =  х ₁   х ₂

 (х ₁  х ₂) =  х ₁   х ₂

9. Закон противоречия:

х   х = 0

10. Закон исключения третьего:

х   х = 1

Кроме того, часто используются формулы, позволяющие перейти от импликации и эквивалентности к формулам булевой алгебры:

х  у = (х  у)  (у  х)

(у  х) =  х  у;

х  у = (х  у)  ( х  у)

Пример 2. Доказать равносильность  (х → y) ≡ x &  у.

Решение. Для доказательства равносильности подвергнем ее левую часть равносильным преобразованиям:

 (х → y) ≡  ( х  y) ≡   x &  y ≡ х &  у.

Пример 3. Упростить формулу А = ( (х  у) → х  y)) & у.

Решение. Подвергнем формулу А равносильным преобразованиям:

A ≡ ( (х  у) → х  y)) & у ≡ (  (х  у)   х  y)) & у ≡ (х  у   х  y) & у ≡ ((х   х)  ( у  y)) & у ≡ (1 y) & y ≡ 1 & y ≡ y.

Пример 4. Доказать, что формула А ≡ х → (у → х) тождественно истинная.

Решение. Подвергнем формулу А равносильным преобразованиям

А ≡ х → (у → х) ≡ х  ( у  х) ≡ ( х  х)   у ≡ 1   y ≡ 1.

Под релейно-контактной схемой мы понимаем устройство из проводников и двухпозиционных контактов, через которые полюсы источника тока связаны с некоторым потребителем. Контакты могут быть замыкающими и размыкающими. Каждый контакт подключен к некоторому реле (переключателю). Когда реле срабатывает (находится под током), все подключенные к нему замыкающие контакты замкнуты, а размыкающие контакты разомкнуты; в противном случае наоборот. Каждому реле ставится в соответствие своя булева переменная х, которая принимает значение 1, если реле срабатывает, и 0 в противном случае.

На чертежах обозначается: х – замыкающий контакт;  х – размыкающий контакт;  - последовательное соединение;  - параллельное соединение.

Две цепи называются эквивалентными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую. Из двух эквивалентных схем более простой считается та, которая содержит меньшее число контактов.

Пример 8. Постройте релейно-контактную схему с заданной функцией проводимости:

(х  (у   z))  ((x  y)  z).

Решение. Выразим сначала данную функцию через функции булевой алгебры:  (инверсия – отрицание),  (дизъюнкция),  (конъюнкция), причем так, чтобы знак  стоял бы лишь перед переменными:

(х  (у   z))  ((x  y)  z) = ( х  (y   z))  (( (x  y)  z)) 

 ((x  y)   z) =  x   y   z  [( x   y   z)  ((x  y)   z)].

Пример 9. Упростить релейно-контактную схему:

Решение. Сначала составим таблицу истинности, затем упростим ее:

x  ((x   y)  (y   z))   y  z = x  ((x   y   y)  (y   z   y))  z =

= x  ((x   y)  (y   y   z)  z = x  ((x   y)   z)  z =

= x  (x   y)  z = x   y  z.

В результате получим эквивалентную схему: