Перевод чисел из одной системы счисления в другие

Перевод числа из десятичной системы счисления в другие. Перевод целой части числа и дробной осуществляются по разным правилам.

Правила перевода целых чисел

1. Последовательно делить заданное число и получаемые целые части на новое основание системы счисления до тех пор, пока целая часть не станет меньше нового основания системы счисления.

2. Полученные остатки от деления, представленные цифрами из новой системы счисления, записать в виде числа начиная с последней целой части.

П равила перевода дробных чисел

1. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет получено требуемое число разрядов.

2. Полученные целые части являются разрядами числа в новой системе счисления, и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления.

3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления начиная с целой части первого произведения.

Необходимо отметить, что не каждое число может быть точно выражено в новой системе счисления; поэтому иногда вычисляют только требуемое количество разрядов в дробной части, округляя отбрасываемый разряд.

Ниже показан перевод числа 25,73₍₁₀₎ с точностью до 4 знаков после запятой

В итоге имеем приближённый перевод 25,73₍₁₀₎ = 11001,1011...₍₂₎.

Проведем проверку перевода (102) обратным переводом (210).

11001,1011₍₂₎=12⁴ + 1 2³ + 0 2² + 0 2¹ + 1 2⁰ + 1 2^-1 + 0 2^-2+ 1 2^-3 + 1 2^-4 =

=16+8+1+ =25 =25,6875₍₁₀₎.

Оценим ошибку перевода: =25,73₍₁₀₎ – 25,6875₍₁₀₎ =0,0425₍₁₀₎. Как видно она появилась уже во 2-ом разряде после запятой, т.к. получили всего четыре 2-ичных знака

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить различные арифметические операции. Так, для сложения и умножения двоичных чисел необходимо использовать правила (алгоритмы):

Таблица двоичного сложения	Таблица двоичного вычитания	Таблица двоичного умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1	0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1

1. При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

Пример 1. Выполнить сложение двоичных чисел:

а) X=1101, Y=101;

    

Результат 1101+101=10010.

б) X=1101, Y=101, Z=111;

    

Результат 1101+101+111=11001.

2. При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда.

Пример 2. Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.

    

Результат 10010 - 101=1101.

3. Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения.

Пример 3. 1001 101=?

    

Результат 1001 101=101101.

4. Деление двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных. При этом используются таблицы двоичного умножения и вычитания.

Пример 4. 1100.011 : 10.01=?

Результат 1100.011 : 10.01=101.1.