2. Самоподобные множества

Фрактальные объекты имеют удивительные свойства – как в целом, так и любые их участки обладают одной и той же размерностью. Это свойство называется самоподобием. Математическую формулировку самоподобия фрактальных объектов дадим интуитивным, очевидным образом. Растянем или сожмем кривую линию в  раз, так что новая длина будет

. (5)

Величину  называют масштабным множителем. Поскольку са- моподобие означает, что любая часть кривой подобна всей линии, то измерение новой длины можно осуществить масштабом, в  раз отличным от исходного масштаба, т. е.

. (6)

Два выражения (5) и (6) составляют математическую формулировку второй аксиомы фрактальной геометрии – самоподобия фрактальных объектов.

Используя формулу Мандельброта – Ричардсона второй аксиоме можно придать компактную формулировку, именно:

(7)

В выражении (7) скобки представляют собой оператор, который означает, что сначала надо задавать масштабный множитель, и только после этого можно будет возводить в степень. Формула означает, что любой участок фрактальной линии обладает одной и той же фрактальной размерностью.

Аксиомы фрактальной геометрии составляют два уравнения для трех величин – длины, масштаба и фрактальной размерности. В качестве свободного параметра, очевидно, надо брать фрактальную размерность, ее можно определить либо опытным путем, либо вычислить математически, либо установить методами теоретической физики, рассматривая детальный механизм явления. Природные объекты описываются геометрическими и физическими величинами. Если эти объекты обладают свойствами много- масштабности и самоподобия, т. е. являются фрактальными, то геометрические и физические величины будут связаны между собой степенным образом. Это приводит к появлению обилия степенных показателей. Если после измерений или другим способом определена размерность фрактального объекта, то постулаты позволят выразить через найденную размерность все степенные показатели.

3. Размерность Минковского

Фрактальную размерность иногда называют дробной размерностью. Однако дробность D не является необходимым условием фрактальности. Существуют фрактальные объекты, размерность D которых выражается целым числом. Ключевым в определении фрактала является условие Мандельброта D>d_T.

или (8)

Определения размерности подобия D_S , размерности Минковского , размерности Хаусдорфа-Безиковича весьма близки по смыслу. Часто размерность подобия используют для приблизительного определения размерности Хаусдорфа-Безиковича. Можно показать, что для регулярных фракталов эти меры совпадают. Поэтому просто говорят о фрактальной размерности D.

Поскольку фрактальная размерность в большинстве случаев принимает нецелые (дробные) значения, то иногда ее называют дробной размерностью. Существуют фрактальные объекты, размерность которых выражается целым числом.