§6. Минимизция булевых функций в классе днф

Переменная или ее отрицание называется литерой. Каждая формула имеет конечное число вхождений литер.

Под вхождением литеры будем понимать место, которое она занимает в формуле. Количество вхождений литер, которые образуют форму, задающую булеву функцию f(x₁,… , х_n), называется сложностью L(f) этой формы.

Пример 6.1.

Сложность совершенной ДНФ функции f(x₁, х₂, х₃), (голосования «комитета трех» ) равна 12.

f(x₁, х₂, х₃) =

Уменьшим сложность этой функции, используя основные тождества алгебры Буля. Согласно свойствам идемпотентности дизъюнкции,

f(x₁, х₂, х₃) =

Используя свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, получаем

f(x₁, х₂, х₃) =

Окончательно имеем

f(x₁, х₂, х₃) =

В результате получаем сложность L(f) функции равную 5.

Задача минимизция булевых функций в классе ДНФ заключается в том, чтобы для данной булевой функции f найти ДНФ, представляющую эту функцию и имеющую наименьшую сложность L(f).

Элементарным произведением называется конъюнкт, в который любая переменная входит не более одного раза.

Пример6. 2. Формула - элементарное произведение, а формула элементарным произведением не является.

Формула называется импликантой формулы , если - элементарное произведение и , т.е. для соответствующих формулам и функций справедливо неравенство .

Формула называется импликантой функции f, если СДНФ функции f.

Импликанта называется простой, если после отбрасывания любой литеры из не получается формула, являющаяся импликантой формулы .

Пример6.3. Найдем все простые импликанты для формулы . Всего имеется 8 элемен­тарных произведений с переменными х и у. Ниже приведены их таблицы истинности:

Из таблиц истинности заключаем, что формулы , , , , y - все импликанты формулы , а из этих импликант простыми являются формулы и у (формула , например, не является простой импликантой, поскольку отбрасывая литеру , получаем импликанту ).

Дизъюнкция всех простых импликант данной формулы (функции) называется сокращенной ДНФ .

Теорема. Любая булева функция, не являющаяся константой 0, представима в виде сокращенной ДНФ.

Сокращенная ДНФ может содержать лишние импликанты, удаление которых не меняет таблицы истинности. Если из сокращенной ДНФ удалить все лишние импликанты, то получается ДНФ, называемая тупиковой.

Представление функции в виде тупиковой ДНФ в общем случае неоднозначно.

Выбор из всех тупиковых форм формы с наименьшим числом вхождений переменных дает минимальную ДНФ (МНДФ).

Рассмотрим метод Квайна для нахождения МДНФ, предста­вляющей данную булеву функцию.

Определим следующие три операции:

операция полного склеивания —

операция неполного склеивания

— операция элементарного поглощения

Теорема Квайна. Если, исходя из совершен­ной ДНФ функции, произвести все возможные операции непол­ного склеивания, а затем элементарного поглощения, то в ре­зультате получится сокращенная ДНФ, т. е. дизъюнкция всех простых импликант.

Пример6.4 . Пусть функция f(x,y.z) задана СДНФ

Тогда, произведя в два этапа все возможные операции неполного склеивания, а затем элементарного поглощения, имеем

Таким образом, сокращенной ДНФ функции f является формула .

На практике при выполнении операций неполного склеивания на каждом этапе можно не писать члены, участвующие в этих операциях, а писать только результаты всевозможных полных склеиваний и конъюнкты, не участвующие ни в каком склеивании.

Пример 6.5 . Пусть функция f(x,y.z) задана СДНФ

Тогда, произведя операции склеивания, а затем элементарного поглощения, имеем

Для получения минимальной ДНФ из сокращенной ДНФ используется матрица Квайна, которая строится следующим образом.

В заголовках столбцов таблицы записываются конституенты единицы совершенной ДНФ, а в заголовках строк — простые импликанты из полученной сокращенной ДНФ. B таблице звездочками отмечаются те пересечения строк и столбцов, для которых конъюнкт, стоящий в заголовке строки, входит в конституенту единицы, являющейся заголовком столбца.

Для примера 6.5. матрица Квайна имеет вид

В тупиковую ДНФ выбирается минимальное число простых импликант, дизъюнкция которых сохраняет все конституенты единицы, т. е. каждый столбец матрицы Квайна содержит звездочку, стоящую на пересечении со строкой, соответствующей одной из выбранных импликант. В качестве минимальной ДНФ выбирается тупиковая, имеющая наименьшее число вхождений переменных.

Минимальная ДНФ заданной функции есть .

В силу принципа двойственности для булевых алгебр все при­веденные понятия и рассуждения очевидным образом можно пре­образовать для нахождения минимальных конъюнктивных нор­мальных форм (МКНФ).