§2.Представление функций формулами. Равносильные формулы.

Определение формулы

Определение равносильности формул

Основные эквивалентности между формулами:

_{Пусть F={} f_1, f_2,…, f_{m} - множество булевых функций. Формулой над F называется выражение вида f(t1,t2,…,tn), где и} t_{i либо переменная, либо} формула над F.

Всякой формуле однозначно соответствует некоторая булева функция. Зная таблицы истинности для функций множества F можно вычислить таблицу истинности той функции, которую реализует данная формула.

_{Пример 2.1.}

_{Пример 2.2.}

Различные формулы могут иметь одинаковые таблицы истинности, т.е. одна и та же формула может иметь множество реализаций над одним и тем же базисом. Так возникает понятие эквивалентности (равносильности) формул.

Формулы и называются равносильными , если совпадают их таблицы истинности, т. е. совпадают представляемые этими формулами функции и .

Пример 2.3. Построив таблицы истинности формул , убеждаемся, что

Легко видеть, что отношение ~ является отношением экви­валентности, т. е. оно рефлексивно , симметрично и транзитивно .

Основные эквивалентности между формулами:

Замечание. Знак в формулах обычно опускают, т.к. конъюнкцию называют еще логическим умножением.

Формула называется выполнимой (опровержимой), если существует такой набор значений переменных, при котором формула принимает значение 1 (соответственно 0).

Пример 2.3. Формула является одновременно выполнимой и опровержимой, поскольку .

Формула называется тождественно истинной, общезначимой или тавтологией (тождественно ложной или противоречием), если эта формула принимает значение 1 (соот­ветственно 0) при всех наборах значений переменных, т. е. функ­ция f является константой 1 (константой 0).

Пример 2.4. Формула является тождественно истинной, а формула - тождественно ложной:

x
0	1	0
1	1	0

Если - тождественно истинная формула, то иногда пишут . В противном случае пишем .Таким образом, , и .

Очевидно, что:

1. формула тождественно ложна тогда и только тогда, когда тождественно истинна ( );

2. формула опровержима тогда и только тогда, когда она не является тождественна истинной ( );

3. формула выполнима тогда и только тогда, когда она не является тождественно ложной.

Тождественно истинные (соответственно тожде­ственно ложные) формулы образуют класс эквивалентности по отношению ~.