Часть 5

Определение булевой функции

таблицы истинности

2^ⁿ строк

=

Булевы функции

от одной переменной

Булевы функции

от двух переменных

Определение1. Функцию f, принимающую одно из двух значений, 0 или 1, от n переменных, каждая из которых принимает одно из двух значений, 0 или 1, называется булевой функцией f(x₁ ,x₂ ,…, x_n ) от n переменных.

Иначе говоря, булевой называется функция вида:

f: {0,1}^ⁿ→ {0,1}.

Множество булевых функций от n переменных будем обозначать .

Любая булева функция может быть задана в виде таблицы истинности. Если значение функции f зависит от n переменных то таблица истинности содержит 2^ⁿ строк, соответствующих всем различным комбинациям значений этих переменных.

_{Пример 1.1.}

Рассмотрим, например, устройство, фиксирующее принятие некоторой резолюции комитетом «трех». Каждый член комитета при одобрении резолюции нажимает свою кнопку; если большинство членов согласны, то резолюция принимается, что фиксируется регистрирующим прибором. Устройство реализует функцию f(x₁, х₂, х₃), таблица истинности которой имеет вид таблицы1.

Таблица 1.

x1	х2	х3	f(x1, х2, х3)	x1	х2	х3	f(x1, х2, х3)
0	0	0	0	1	0	0	0
0	0	1	0	1	0	1	1
0	1	0	0	1	1	0	1
0	1	1	1	1	1	1	1

Число булевых функций от n переменных равно числу столбцов, которые можно сопоставить строкам таблиц истинности и равно , т.е. = .

Булевы функции от одной переменной приведены в таблицах 2,3 от двух переменных в таблицах 4,5.

Таблица 2.

x	f0	f1	f 2	f 3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Таблица 3.

функция	обозначение	название
f0	0	Конст.0
f1	х	х
f2	¬х,	Отрицание х
f3	1	Конст.1

Таблица 4.

Таблица 5.

Условимся называть булевы функции от одной и двух переменных элементарными булевыми функциями.

Булевы функции от одной и двух переменных являются операциями на множестве булевых функций.