2. Индийская математика

Уже в середине III тысячелетия до н. э. в долине реки Инд существовала развитая цивилизация. Об уровне знаний той далекой эпохи можно судить по результатам археологических изысканий. Например, при раскопках были найдены обломок линейки с делениями и древнейший в мире игральные кости кубической формы. На каждой стороне ямочками обозначены числа от одного до шести. Торговцы тех далеких времен пользовались каменными гирями различной величины. Археологи обнаружили большое число предметов правильной геометрической формы. для построения окружностей индийцы, по-видимому, применяли инструмент, похожий на современный циркуль.

Многие черты роднят цивилизацию долины Инда с другими древними культурами – Египтом и государствами Междуречья. Везде возникали одинаковые проблемы: приходилось делать расчеты при строительстве дворцов, храмов, жилищ, складов для зерна, военных укреплений, определять размеры и очертания полей, учитывать количество материалов и продуктов – словом, решать схожие математические задачи.

Во II – I тысячелетиях до н. э. появились религиозно-философские книги – веды («знания»). Один из разделов ведийской культуры назывался «Шульба-сутра» («Правила веревки»). Этот трактат, составленный в VII – V вв. до н. э. содержит правила измерений с помощью веревки, применяемые при строительстве жертвенных алтарей и храмов.

В первые века новой эры появились астрономические и математические труды – сиддханты («учения»). Факты, изложенные в первых сиддхантах, заимствованы у древних греков. Труд «Пулиса-сиддханта» (жителей Восточной Римской империи часто называли ромеями). В сиддхантах использованы некоторые греческие термины. Впрочем, научные связи Индии и Греции существовали еще в античные времена.

В Средние века работали индийские математики и астрономы Ариабхата (V – VI вв.) (см. приложение 4, рис.1), Брахмагупта (VII в.), Магавира (IX в.), Шридхара (IX – X вв.), Бхаскара (XII в.) (см. приложение 4, рис.2), Нилаканта (XV – XVI вв.).

Большинство трактатов индийцев записано на санскрите – языке науки, который объединял ученых, говоривших на разных наречиях. Многие труды изложены в стихах, для того чтобы правила можно было заучивать наизусть. Научные тексты обычно сопровождались подробными комментариями, где каждое правило тщательно объяснялось.

2.1. Алгебра и теория чисел

Индийские математики создали развитую алгебраическую символику. В Индии впервые появились особые знаки для многих неизвестных величин свободного члена уравнения, степеней, основных арифметических действий. Большинство символов представляли собой первые слоги санскритских терминов. Например, неизвестную величину индийцы называли «йаваттават» («столько-сколько»), ее обозначали слогом «йа». Если неизвестных было несколько, то им давали наименования различных цветов: чёрный – «калака», голубой – «нилака», жёлтый – «питака» - и записывали слогами «ка», «ни», «пи» и т. п.

Индийские математики достингли больших успехов в решении задач, связанных с алгебраическими вычислениями. Ариабхата оставил задачи, сводящиеся к решению линейного уравнения с одним неизвестным. У Магавиры, Бхаскары и других ученых есть задачи, приводящие к системам линейных уравнений с несколькими неизвестными. Вот одна из задач Магавиры: «Стоимость 9 лимонов и 7 лесных яблок равна 107; стоимость 7 лимонов и 9 лесных яблок равна 101. О, математик, быстро назови мне цену лимона и лесного яблока». Задача приводит к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Метод решения, изложенный Магавирой, не отличается от современного способа решения с помощью уравнивания коэффициентов.

Бхаскара предлагает такую задачу: «Один имеет 300 монет и 6 лошадей; другой имеет 10 таких лошадей, но у него недостает 100 монет. Оба одинаково богаты. Какова цена лошади?». Условие выражается уравнением 6x + 300 = 10x – 100. Отсюда Бхаскара находит, что лошадь стоит 100 монет.

Задачи на квадратные уравнения есть уже в «Шульба-сутре», где приведены уравнения вида Однако их решения мы впервые встречаем у Ариабхаты. Это задачи на сложные проценты и на нахождение числа членов арифметической прогрессии. Бхаскара рассматривал специально подобранные уравнения третьей и четвертой степеней, целочисленные корни которых он находил путем несложных преобразований.

Индийские математики успешно решали неопределенные уравнения, которые возникали в астрономических задачах. В отличие от Диофанта, искавшего любые рациональные корни, индийцы дали способ решения неопределенных уравнений в целых положительных числах. Линейное уравнение в целых числах с двумя неизвестными ax + b = cy приводит уже Ариабхата, но более подробно о нем рассказывают в своих сочинениях Брахмагупта и Бхаскара.

Вершина достижений индийских математиков в теории чисел – решение в целых положительных числах неопределённого уравнения второй степени с двумя неизвестными , где а – целое число, не являющееся квадратом. Это уравнение рассматривали Брахмагупта и бхаскара, который на примерах изложил метод, называемый теперь циклическим. Позже в Европе с этим уравнением занимались П. Ферма, Л. Эйлер, Ж. Л. Лагранж. Метод нахождения полного решения, открытый Лагранжем в 1759 г., близок к индийскому.

Арифметические и геометрические прогрессии занимали видное место в индийской математике. Некоторые задачи очень известны, к примеру, задача о награде за изобретение шахмат, которая сводится к нахождению суммы геометрической прогрессии со знаменателем 2. Суммирование числовых рядов интересовало многих индийских математиков. Ариабхата приводит правила суммирования рядов треугольных чисел, натуральных квадратов и кубов, а Магавира – правила суммирования рядов квадратов и кубов членов арифметической прогрессии.

Большой интерес индийцы проявляли к комбинаторике. Вот, например, задача Магавиры: «О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов». А у Шридхары приводится такая задача: «Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, горьким, вяжущим, кислым, солёным, сладким. Друг, скажи, каково число всех разновидностей».