Вариант № 434315(база)

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  Ответ: 2,35.

2. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния Ответ: 4000.

3. Цена на элек­три­че­ский чай­ник была по­вы­ше­на на 22% и со­ста­ви­ла 2196 руб­лей. Сколь­ко руб­лей стоил чай­ник до по­вы­ше­ния цены?

По­яс­не­ние. Цена чай­ни­ка после по­вы­ше­ния стала со­став­лять 122% от на­чаль­ной цены. Раз­де­лим 2196 на 1,22: Ответ: 1800.

4. В фирме «Род­ник» сто­и­мость (в руб­лях) ко­лод­ца из же­ле­зо­бе­тон­ных колец рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле   , где n — число колец, уста­нов­лен­ных при рытье ко­лод­ца. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, рас­счи­тай­те сто­и­мость ко­лод­ца из 5 колец. По­яс­не­ние. Под­ста­вим в фор­му­лу зна­че­ние пе­ре­мен­ной  : Ответ: 26 500.

5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  . Ответ: −0,5.

6. Диа­го­наль экра­на те­ле­ви­зо­ра равна 64 дюй­мам. Вы­ра­зи­те диа­го­наль экра­на в сан­ти­мет­рах, если в одном дюйме 2,54 см. Ре­зуль­тат округ­ли­те до це­ло­го числа сан­ти­мет­ров.

По­яс­не­ние. Диа­го­наль экра­на те­ле­ви­зо­ра равна 64   2,54 = 162,56 см. Округ­ляя, по­лу­ча­ем 163 см.Ответ:163.

7. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:   В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

По­яс­не­ние. Решим урав­не­ние:

  где   — целое число. Зна­че­ни­ям   со­от­вет­ству­ют по­ло­жи­тель­ные корни. Если  , то   и  . Если  , то   и  Зна­че­ни­ям   со­от­вет­ству­ют мень­шие зна­че­ния кор­ней. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим от­ри­ца­тель­ным кор­нем яв­ля­ет­ся число  Ответ: −0,5.

8. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции  — одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции  , опре­делённой на ин­тер­ва­ле  . Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния   на от­рез­ке 

По­яс­не­ние. По опре­де­ле­нию пер­во­об­раз­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 4) спра­вед­ли­во ра­вен­ство

  Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния f(x)=0 яв­ля­ют­ся точки экс­тре­му­мов изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции F(x). Это точки −1,8; −1,2; −0,8; −0,4; 0,2; 0,8; 1,2; 1,6; 2; 2,4; 3,2; 3,8. Из них на от­рез­ке [−1; 3] лежат 8 точек. Таким об­ра­зом, на от­рез­ке [−1; 3] урав­не­ние   имеет 8 ре­ше­ний. Ответ: 8.

9. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца.

ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ		ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ
А) ча­сто­та вра­ще­ния ми­нут­ной стрел­ки Б) ча­сто­та вра­ще­ния ло­па­стей вен­ти­ля­то­ра В) ча­сто­та об­ра­ще­ния Земли во­круг своей оси Г) ча­сто­та об­ра­ще­ния Ве­не­ры во­круг Солн­ца		1) 1 об/день 2) 1,6 об/год 3) 24 об/день 4) 50 об/с

 За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

A	Б	В	Г

По­яс­не­ние. Ча­сто­та вра­ще­ния ло­па­стей вен­ти­ля­то­ра самая боль­шая из пред­ло­же­ных ве­ле­чин — 50 об/с. Ча­сто­та вра­ще­ния ми­нут­ной стрел­ки — 24 об/день. Ча­сто­та об­ра­ще­ния Земли во­круг своей оси — 1 об/день. Ча­сто­та об­ра­ще­ния Ве­не­ры во­круг Солн­ца — 1,6 об/год. Ответ: 3412.

10. Ме­ха­ни­че­ские часы с две­на­дца­ти­ча­со­вым ци­фер­бла­том в какой-то мо­мент сло­ма­лись и пе­ре­ста­ли хо­дить. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ча­со­вая стрел­ка за­сты­ла, до­стиг­нув от­мет­ки 4, но не дойдя до от­мет­ки 7 часов.

По­яс­не­ние.На ци­фер­бла­те между де­ся­тью ча­са­ми и одним часом три ча­со­вых де­ле­ния. Всего на ци­фер­бла­те 12 ча­со­вых де­ле­ний. По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна: 3:12=0,25 Ответ: 0,25.

11. Не­боль­шой мячик бро­са­ют под ост­рым углом   к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Мак­си­маль­ная вы­со­та полeта мя­чи­ка, вы­ра­жен­ная в мет­рах, опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой  , где   м/с – на­чаль­ная ско­рость мя­чи­ка, а   – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те   м/с ). При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла   (в гра­ду­сах) мячик про­ле­тит над сте­ной вы­со­той 4 м на рас­сто­я­нии 1 м?

По­яс­не­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства   на ин­тер­ва­ле   при за­дан­ных зна­че­ни­ях на­чаль­ной ско­ро­сти   и уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния  :

  . Ответ: 30.

12. В таб­ли­це ука­за­ны сред­ние цены (в руб­лях) на не­ко­то­рые ос­нов­ные про­дук­ты пи­та­ния в трех го­ро­дах Рос­сии (по дан­ным на на­ча­ло 2010 года).

 

На­име­но­ва­ние про­дук­та	Тверь	Ли­пецк	Бар­на­ул
Пше­нич­ный хлеб (батон)	11	12	14
Мо­ло­ко (1 литр)	26	23	25
Кар­то­фель (1 кг)	9	13	16
Сыр (1 кг)	240	215	260
Мясо (го­вя­ди­на) (1 кг)	260	280	300
Под­сол­неч­ное масло (1 литр)	38	44	50

 Опре­де­ли­те, в каком из этих го­ро­дов ока­жет­ся самым де­ше­вым сле­ду­ю­щий набор про­дук­тов: 2 ба­то­на пше­нич­но­го хлеба, 3 кг кар­то­фе­ля, 1,5 кг го­вя­ди­ны, 1 л под­сол­неч­но­го масла. В ответ за­пи­ши­те сто­и­мость дан­но­го на­бо­ра про­дук­тов в этом го­ро­де (в руб­лях).

 По­яс­не­ние.В Твери сто­и­мость 2 ба­то­нов пше­нич­но­го хлеба, 3 кг кар­то­фе­ля, 1,5 кг го­вя­ди­ны, 1 л под­сол­неч­но­го масла со­ста­вит 11   2 + 9   3 + 1,5   260 + 1   38 = 477 руб.

 В Ли­пец­ке сто­и­мость 2 ба­то­нов пше­нич­но­го хлеба, 3 кг кар­то­фе­ля, 1,5 кг го­вя­ди­ны, 1 л под­сол­неч­но­го масла со­ста­вит 12   2 + 13   3 + 1,5   280 + 1   44 = 527 руб.

 В Бар­нау­ле сто­и­мость 2 ба­то­нов пше­нич­но­го хлеба, 3 кг кар­то­фе­ля, 1,5 кг го­вя­ди­ны, 1 л под­сол­неч­но­го масла со­ста­вит 14   2 + 16   3 + 1,5   300 + 1   50 = 576 руб.

 Самый дешёвый набор про­дук­тов можно ку­пить в Твери по цене 477 руб.

13.. Два ве­ло­си­пе­ди­ста од­но­вре­мен­но от­пра­ви­лись в 224-ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый ехал со ско­ро­стью, на 2 км/ч боль­шей, чем ско­рость вто­ро­го, и при­был к фи­ни­шу на 2 часа рань­ше вто­ро­го. Найти ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу вто­рым. Ответ дайте в км/ч.

По­яс­не­ние. Пусть   км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу вто­рым, тогда ско­рость пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста —   км/ч. Пер­вый ве­ло­си­пе­дист при­был к фи­ни­шу на   часа рань­ше вто­ро­го, от­сю­да имеем:

  Таким об­ра­зом, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу вто­рым, равна 14 км/ч. Ответ: 14.

14. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке  .

По­яс­не­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

  Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

  Наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке будет наи­боль­шее из чисел   и  . Най­дем их: ,

За­ме­тим, что  , по­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке равно −33. Ответ: −33.

15. Пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка, опи­сан­но­го около окруж­но­сти, равен 24, две его сто­ро­ны равны 5 и 6. Най­ди­те боль­шую из остав­ших­ся сто­рон.

По­яс­не­ние.Пусть боль­шая из двух остав­ших­ся сто­рон имеет длину x, тогда длина чет­вер­той сто­ро­ны равна  . В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. В этом слу­чае пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка вдвое боль­ше суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон, а зна­чит, сто­ро­ны дли­ной x и 13 − x, как и сто­ро­ны дли­ной 5 и 6, не могут быть про­ти­во­по­лож­ны­ми и яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми.Итак, на­про­тив боль­шей из пер­вой пары смеж­ных сто­рон с дли­на­ми x и 13 − x лежит мень­шая из вто­рой пары смеж­ных сто­рон с дли­на­ми 5 и 6. По­сколь­ку суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны, имеем:

Ответ: 7.

16. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­то­рой равна 38, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

По­яс­не­ние. Пло­щадь бо­ко­вых гра­ней от­се­чен­ной приз­мы вдвое мень­ше со­от­вет­ству­ю­щих пло­ща­дей бо­ко­вых гра­ней ис­ход­ной приз­мы. По­это­му пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной приз­мы вдвое мень­ше пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной. Ответ: 19.

17.Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний из пра­во­го столб­ца. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА		РЕ­ШЕ­НИЯ
А)  Б)  В)  Г)		1)  2)  3)  4)

 Впи­ши­те в при­ведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую цифру. 

А	Б	В	Г

По­яс­не­ние.А4; Б1; В3; Г2.

18. В груп­пе учит­ся 30 сту­ден­тов, из них 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёт по эко­но­ми­ке и 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёт по ан­глий­ско­му языку. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых дан­ных.

В этой груп­пе

 1) не менее 10 сту­ден­тов не по­лу­чи­ли зачёта ни по эко­но­ми­ке, ни по ан­глий­ско­му языку

2) хотя бы 10 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёты и по эко­но­ми­ке, и по ан­глий­ско­му языку

3) не боль­ше 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёты и по эко­но­ми­ке, и по ан­глий­ско­му языку

4) найдётся сту­дент, ко­то­рый не по­лу­чил зачёта по ан­глий­ско­му языку, но по­лу­чил зачёт по эко­но­ми­ке.

 В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и

дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов. По­яс­не­ние.

1) Сту­ден­тов, ко­то­рые не по­лу­чи­ли ни од­но­го зачёта, от 0 до 10. Но не "не менее 10".

2) Это верно.

3) Да, так как всего по эко­но­ми­ке по­лу­чи­ли зачёты 20 сту­ден­тов. То есть боль­ше сту­ден­тов с зачётом по эко­но­ми­ке быть не может.

4) Не факт. Может быть такое, что каж­дый сту­дент, ко­то­рый по­лу­чил зачёт по эко­но­ми­ке, также по­лу­чил зачёт и по ан­глий­ско­му языку. Ответ:

19. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 600, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 даёт в остат­ке 3 и цифры ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева на­пра­во. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние. Так как число даёт оди­на­ко­вый оста­ток по мо­ду­лям 4, 5 и 6, то оно также даёт такой же оста­ток и по мо­ду­лю 60. То есть число имеет вид   Все такие числа: 603, 663, 723, 783, 843, 903, 963. Из них под­хо­дят под по­след­нее усло­вие толь­ко 843 и 963.

20. В кор­зи­не лежат 30 гри­бов: ры­жи­ки и груз­ди. Из­вест­но, что среди любых 12 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 20 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в кор­зи­не?

По­яс­не­ние. В кор­зи­не есть как ми­ни­мум 19 ры­жи­ков. Иначе можно было бы взять 12 груз­дей и пер­вое усло­вие не вы­пол­ня­лось. Ана­ло­гич­но из вто­ро­го усло­вия сле­ду­ет, что в кор­зи­не как ми­ни­мум 11 груз­дей. Со­по­став­ляя эти два факта, по­лу­чим, что в кор­зи­не имен­но 19 ры­жи­ков и 11 груз­дей. Ответ: 19.