2.2 Операции над множествами
Объединением, двух множеств X и Y называется множество, обозначаемое XUY и состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств X или Y:
XUY = {х | хϵ X или х ϵ Y}.
Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:
Пример. Рассмотрим два множества X = {1,3,5} и Y = {3,5,9}. Их объединением XUY будет множество {1,3,5,9}.
Пересечением, множеств X и Y называется множество, обозначаемое X∩Y состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств X и Y:
X∩Y = {х | хϵ X и х ϵ Y}.
Поясним определение пересечения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:
Пример. Рассмотрим два множества Х = {1,3,5} и Y= {3,5,9}. Тогда пересечением этих множеств будет X ∩Y = {3,5}.
Разностью множеств X и Y называется множество, обозначаемое X\Y и состоящее из всех элементов X, не принадлежащих Y:
X\Y = {х | хϵ
X и х
Y}.
Поясним определение разности множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:
Пример. Рассмотрим два множества X = {1,3,5}, Y= {3,8,9}. Разностью этих множеств будет множество X\Y= {1,5}.
Симметричной разностью множеств X и Y называется множество
X∆Y = (X\Y)U(Y\X):
X∆Y = {х | (х ϵ
X и х
Y) и (х
X и хϵ
Y)}.
Дополнением к множеству Xотносительно универсального множества U называется множество X’ = U\X :
X’={x|
x
X}
Разбиением множества Y называется набор его попарно непересекающихся подмножеств Xά, άϵ А, где А – некоторое множество индексов, такой, что Y = UXά, άϵ А.
Приоритет выполнения операций.
Сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения, объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками. Если в выражении есть знаки пересечения и объединения и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).
2.3 Свойства операций над множествами
Пусть
задан универсум U.
Тогда
А,
В, С
U
выполняются
следующие свойства:
1. идемпотентность:
A
A=А,
А∩А = А;
2. коммутативность:
A
B
= B
A,
А∩ В = В∩ А;
3.ассоциативность:
A
(В
С) = (A
В)
С,
А ∩(В ∩С) = (A∩В) ∩ С;
4.дистрибутивность:
A
(В∩
C)
= (A
B)
∩
(A
C),
А ∩
(В
С) = (А∩
В)
(А∩С);
5.поглощение:
(A∩B)
А = А,
(А
В)
∩А
= А;
6.свойства нуля:
A
Ø
= А,
A∩Ø= Ø;
7.свойства единицы:
A
U
= U,
A∩U = A;
8.законыдеМоргана:
(A
∩
B)’
= A’
B’,
(А
В)’=
A’ ∩ B’;
9. свойства дополнения:
А
А’
=U,
А ∩ А’ = Ø;
10. выражение для разности:
А\В =A∩ B’.
2.4 Примеры доказательств тождеств с множествами
Пример 1. Доказать
или опровергнуть справедливость
тождества(A
B)
C=(A
C)
(B
C).
Доказательство. Докажем,
используя метод взаимного включения.
Пусть(A
B)
C=E,
a(A
C)
(B
C)=F.Тогда
необходимо доказать или опровергнуть
следующее:
E
F
&
F
E.
Докажем необходимость: E
F.
a
E
a
(A
B)
C
a
(A
B)&
a
C
(a
A
a
B)&
a
C
a
(A
C)
a
(
B
C)
a
(A
C)
(B
C)⟹a∈F.
Докажем достаточность:F
E
a
F
a
(A
C)
(B
C)
a
(A
C)
a
(
B
C)
(a
A
& a
C)
(a
В&
a
C)
a
(A
B)&
a
C
a
(A
B)
C⟹a
E.
Следовательно, E=F, т.е. исходное тождество справедливо.
Пример 2. Доказать
или опровергнуть справедливость
тождества A
((A
B)
(A
B))=
.
Доказательство. Докажем методом от противного: предположим, что это выражение не равно пустому множеству.
a
A
((A
B)
(A
B))
a
A
& a
((A
B)
(A
B))
a
A
& (a
(A
B)&
a
(A
B))
a
A
& (a
A
& a
B)
&(a
A
a
B)
Получаем противоречие:
элемент
одновременно принадлежит и не принадлежит
множеству
.
Значит, первоначальное предположение
неверно и исходное тождество справедливо,
т.е. равно
.
Пример 3. Доказать,
чтоA
B
B’
A’.
Доказательство.
Пусть А
и В
– подмножества некоторого универсума
U,
А
B
x
U, x
A
x
B
x
U, x
A
x
B
x
U, x
B’
x
A’
Значит B’
A’.
Пример
4.Доказать(A
B)
C=(A
C)
(B
C).
Доказательство.
Докажем,
используя геометрический метод. Построим
диаграммы Эйлера-Венна для множеств(A
B)
C
и (A
C)
(B
C):
На первой диаграмме
множество (A
B)
Cвыделено
черной штриховкой, на второй множество
(A
C)
– светлой, множество (B
C)
– серой, а множество(A
C)
(B
C)является
их объединением. Сравнивая эти два
рисунка, можно сделать вывод, что эти
множества равны, следовательно, тождество
доказано.