3. Литература

ОСНОВНАЯ

1. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика. – М.: Наука. Физматлит, 2000. – 544 с.

2. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов: учебник для вузов. 3-е изд. СПб.: Питер, 2009. – 384 с.: ил.

3. Кузнецов О. П. Дискретная математика для инженеров. — СПб.: Лань, 2004.

4. Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Дискретная математика. Часть 1. Теория множеств. – Таганрог, 2005. – 160 с.

5. 9. Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Дискретная математика. Часть 2. Теория графов. – Таганрог, 2010. – 162 с.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

6. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 744 с.

7. Берж К. Теория графов и ее применение. М.: Иностранная литература, 1962.8.

10. Информация в понятиях и терминах / Под ред. В.А. Извозчикова. М.: Просвещение, 1991.

11. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.

12. Мелихов А.Н. Ориентированные графы и конечные автоматы. М.: Наука, 1971.

13. Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1980. – 336 с.

14. Соболева Т.С., Чечкин А.В. Дискретная математика. – М.: Издательский центр «Академия», 2006. — 256 с.

15. Татт У. Теория графов. – М.: Мир, 1988. - 424 с.

16. Тишин В.В. Дискретная математика в примерах и задачах. – СПб.: БХВ-Петербург, 2008. — 352 с.

17. Уилсон Р. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977. – 208 с.

18. Харари Ф. Теория графов / Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с.

19. Яблонский С.С. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979.

Теоретический раздел

Лекции

Раздел 1. Теория множеств

Глава 1. Множества и подмножества

1.1 Элементы и множества

Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых по­нятий математики. Можно сказать, что множество — это любая определенная со­вокупность объектов. Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами. Элементы множества различны и отличны друг от друга.

Примеры. Множество Sстраниц в данной книге. Множество N натуральных чисел 1, 2, 3, ....Множество Р простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, ...

Если объект х является элементом множества М, то говорят, что х принадле­жит М. Обозначение: хϵ М. В противном случае говорят, что х не принадле­жит М. Обозначение: х М.

Множества, как объекты, могут быть элементами других множеств. Множество, элементами которого являются множества, обычно называется классом или семейством.

Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U (своего для каждого случая), которое называется универсальным множеством, или универсумом.

Из соображений формального удобства вводят еще так называемое "пустое множество", а именно, множество, не содержащее ни одного элемента. Его обозначают Ø, иногда символом 0 (совпадение с обозначением числа нуль не ведет к путанице, так как смысл символа каждый раз ясен).

Обозначим множество n первых натуральных чисел через J_n = {1,2, ..., n}. Множество X называется конечным, если оно эквивалентно J_n при некоторомn. Число n называется количеством, или числом, элементов множества X. Для конечного множества X через |Х| обозначим число элементов этого множества, т.е. |Х| = n. Пустое множество считается конечным с числом элементов равным нулю, т. е. |Ø| =0. Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными.

Если каждый элемент множества A входит во множество B, то A называется подмножеством B, а B называется надмножеством A. ПишутAB, BA (A входит в B или A содержится в B, B содержит A). Очевидно, что если AB, и BA, то A = B. Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества.

Если каждый элемент множества A входит в B, но множество B содержит хотя бы один элемент, не входящий в A, т. е. если AB, иA≠B, то A называется собственным подмножеством B, а B - собственным надмножеством A. В этом случае пишут AB, BA. Например, запись А≠0 и А0 означают одно и то же, а именно, что множество A не пусто.

Заметим еще, что надо различать элемент a и множество {a}, содержащее a в качестве единственного элемента. Такое различие диктуется не только тем, что элемент и множество играют неодинаковую роль (отношение не симметрично), но и необходимостью избежать противоречия. Так, пусть A = {a, b} содержит два элемента. Рассмотрим множество {A}, содержащее своим единственным элементом множество A. Тогда A содержит два элемента, в то время как {A} - лишь один элемент, и потому отождествление этих двух множеств невозможно. Поэтому рекомендуется применять запись аϵА , и не пользоваться записью aA.