2.4 Маршруты, цепи, пути и циклы

Маршрут в графе G = (V, Е) представляет собой конечную чередующуюся последовательность вершин и ребер v₀, е₁, v₂, е₂, … , v_k-1, e_k, v_k, начинающуюся и кончающуюся на вершинах, причем V_i-t и V_i являются концевыми вершинами ребра e₁, 1 ≤ i ≤ k. С другой стороны, маршрут можно рассматривать как конечную последовательность таких вершин v₀, v₁, v₂, … , v_k, что (v_i-1, v_i), 1≤ i ≤ k - ребро графа G. Такой маршрут обычно называется v₀ – v_k -маршрутом, a v₀ и v_k - концевыми или терминальными вершинами маршрута. Все другие вершины маршрута называются внутренними. Заметим, что ребра и вершины в маршруте могут появляться более одного раза.

Маршрут называется открытым, если его концевые вершины различны, в противном случае он называется замкнутым. В графе на рис. 12 последовательность v₁, e₁, v₂, е₂, v₃, е₈, v₆, e₉, v₅, e₇, v₃, e₁₁, v₆ является открытым маршрутом, а последовательность v₁, е₁, v₂, е₂, v₃, е₇, v₅, e₃, v₂, е₄, v₄, e₅, v₁-замкнутым.

Рисунок 12

Маршрут называется цепью, если все его ребра различны. Цепь называется открытой, если ее концевые вершины различны, в противном случае она называется замкнутой. На рис. 12 цепь v₁, e₁, v₂, e₂, v₃, e₈, v₆, e₁₁, v₃ - открытая, а v₁, e₁, v₂, e₂, v₃, e₇, v₅, e₃, v₂, e₄, v₄, e₅, v₁ - замкнутая.

Открытая цепь называется путем, если все ее вершины различны. Замкнутая цепь называется циклом, если различны все ее вершины, за исключением концевых. Например, на рис. 12 последовательность v₁, e₁, v₂, e₂, v₃ является путем, а последовательность v₁, e₁, v₂, e₃, v₅, e₆, v₄, e₅, v₁ - циклом.

Ребро графа G называется циклическим, если в графе G существует цикл, содержащий ребро. В противном случае ребро называется нециклическим. На рис. 12 все ребра, за исключением е₁₂, циклические.

Число ребер в пути называется длиной пути. Аналогично определяется длина цикла.

Необходимо указать следующие свойства путей и циклов.

1. Степень каждой не концевой вершины пути равна 2, концевые вершины имеют степень, равную 1.

2. Каждая вершина цикла имеет степень 2 или другую четную степень. Обращение этого утверждения, а именно то, что ребра подграфа, в котором каждая вершина имеет четную степень, образуют цикл,— неверно.

3. Число вершин в пути на единицу больше числа ребер, тогда как в цикле число ребер равно числу вершин.

2.5 Связность и компоненты графа

Важным понятием в теории графов является связность. Две вершины v_i и v_j называются связанными в графе G, если в нем существует путь v_i - v_j. Вершина связана сама с собой.

Граф G называется связным, если в нем существует путь между каждой парой вершин. Например, граф, представленный на рис. 12, связный.

Рассмотрим несвязный граф G = (V, Е). Тогда множество вершин V графа G можно разбить на такие подмножества V₁, V₂, … ,V_p, что вершинно-порожденные подграфы <V_i>, i= 1, 2, . . р, связны, и никакая вершина подмножества V_i не связана ни с какой вершиной подмножества V_j, j ≠ i. Подграфы <V_i>, i=l, 2, ..., p, называются компонентами графа G. Легко видеть, что компонентой графа G является максимально связный подграф графа G, т. е. компонента графа G не является собственным подграфом любого другого связного подграфа графа G.

Например, граф G на рис. 13 не связен. Его четыре компоненты G₁, G₂, G₃, G₄ имеют множества вершин {v₁, v₂, v₃}, {v₄, v₅}, {v₆, v₇, v₈}, {v₉} соответственно.

Рисунок 13

Отметим, что изолированную вершину также следует рассматривать как компоненту, поскольку по определению вершина связана сама с собой. Кроме того, следует отметить, что если граф G связен, то он имеет только одну компоненту, которая является графом G.

Теперь рассмотрим некоторые свойства связных графов.

Теорема. В связном графе любые два пути максимальной длины имеютобщую вершину.

Теорема. Если граф G= (V, Е) связен, то граф G'= (V, Е - е), получающийся после удаления циклического ребра е, тоже связен.