6.2 Операции над мультимножествами

Над мультимножествами определены следующие основные операции: объединение, пересечение, арифметическое сложение, арифметическое вычитание, дополнение, симметрическая разность, умножение на число, арифметическое умножение и возведение в арифметическую степень, прямое произведение и возведение в прямую степень.

Объединением мультимножеств A_M и B_M называется мультимножество, состоящее из всех элементов, которые присутствуют хотя бы в одном из мультимножеств, и кратность каждого элемента равна максимальной кратности соответствующих элементов в объединяемых мультимножествах:

C_M= A_MB_M= {max(k_ix_i, k_jx_j)}, k_ix_iA_M, k_jx_j B_M.

Другими словами, производится попарное сравнивание каждого экземпляра мультимножеств и в каждой паре выбирается экземпляр с наибольшим значением функции кратности.

Пересечением мультимножеств A_M и B_M называется мультимножество, состоящее из всех элементов, которые одновременно присутствуют в каждом из мультимножеств, и кратность каждого элемента равна минимальной кратности соответствующих элементов в пересекаемых мультимножествах:

C_M= A_MB_M= {min(k_ix_i, k_jx_j)}, k_ix_iA_M, k_jx_j B_M.

Другими словами, производится попарное сравнивание каждого экземпляра мультимножеств и в каждой паре выбирается экземпляр с наименьшим значением функции кратности.

Арифметической суммой мультимножеств A_M и B_M называется мультимножество, состоящее из всех элементов, которые присутствуют хотя бы в одном из мультимножеств, и кратность каждого элемента равна сумме кратностей соответствующих элементов в складываемых мультимножествах:

C_M= A_M+B_M= {kx | kx = k_ix_i + k_jx_j}, k_ix_iA_M, k_jx_j B_M.

Операции объединение, пересечение и арифметическое сложение можно выполнять для произвольного числа мультимножеств.

Арифметической разностью мультимножеств A_M и B_M называется мультимножество, состоящее из тех элементов мультимножества A_M, кратность которых превышает кратность соответствующих элементов в мультимножестве B_M. Кратность каждого элемента результирующего множества равна разности кратностей соответствующих элементов в вычитаемых мультимножествах:

C_M= A_M-B_M= {kx | kx = k_ix_i-k_jx_j, если k_i>k_j; 0, в противном случае}, k_ix_iA_M, k_jx_jB_M.

A_MB_MA_M- B_M =

Симметрической разностью мультимножеств A_M и B_M называется мультимножество, состоящее из тех элементов мультимножества A_Mи B_M, кратности которых различны. Кратность каждого элемента результирующего множества равна модулю разности кратностей соответствующих элементов в вычитаемых мультимножествах:

C_M= A_M\B_M= {kx | kx = |k_ix_i-k_jx_j|}, k_ix_iA_M, k_jx_jB_M.

Арифметическая и симметрическая разности мультимножеств применима только к двум мультимножествам.

Дополнением мультимножества A_M до универсума U называется мультимножество, состоящее из тех элементов, кратность которых равна разности кратностей соответствующих элементов в универсуме U и дополняемом мультимножестве A_M. Под универсумом в данном случае понимается некоторое мультимножество U, такое, что все остальные мультимножества являются подмультимножествами данного множества U.

A_M’=U-A_M={k_A’x | k_Ux-k_Ax, xU}

Из определений пустого мультимножества и дополнения мультимножества следует, что пустое мультимножество и универсумU взаимно дополняют друг друга: ’ = U, U’=.

Арифметической произведением мультимножеств A_M и B_M называется мультимножество, состоящее из элементов, которые одновременно присутствуют в каждом из мультимножеств, и их кратность равна произведению кратностей соответствующих элементов в перемножаемых мультимножествах:

C_M= A_MB_M= {kx | kx = |k_ix_ik_jx_j|}, k_ix_iA_M, k_jx_jB_M.

Прямым произведением мультимножеств A_M и B_M называется мультимножество, состоящее из всех упорядоченных пар элементов <x_i,x_j>,

таких, что первый элемент каждой пары является элементом первого сомножителя x_iA_M,второй элемент пары - элементом второго сомножителя x_jB_Mи кратность каждой пары <x_i,x_j> равна произведению кратностей элементов x_i и x_jв перемножаемых мультимножествах:

C_M= A_MB_M= {k_A×B<x_i,x_j> | k_A×B = k_ix_ik_jx_j}, x_iA_M, x_jB_M.

По аналогии с множествами, для мультимножеств также можно сформулировать некоторые правила выполнения операций:

(AB)’ = A’B’;

(AB)’ = A’B’;

(A+B)’ = A’ – B = B’ – A;

(A – B)’ = A’ + B;

A’ – B’ = B – A;

A + B = (A B) + (AB);

A\B = (A B) – (AB) = A’\B’;

(A – B)(B – A) =;

AB = (A + B) – (AB) = (AB) + A\B = A + (B – A) = B + (A – B);

AB = (A + B) – (AB) = (AB) – A\B = A – (A – B) = B – (B – A);

A – B = (AB) – B = A – (AB) = (AB)\B = A\(AB);

A\B = (AB) – (AB) = (A – B) + (B – A) = (A – B)(B – A) = (A + B) – 2·(AB);

A + B = (AB) + (AB) = A\B + 2·(AB).