Глава 5. Соответствия и функции

5.1 Основные понятия соответствия

Соответствием между множествами X и Y будем называть тройку объектов:

Г = (Х, Y,G), где X — область отправления соответствия, Y — область прибытия соответствия, G — график соответствия, причём G X × Y.

Существует три способа задания соответствия:

• Теоретический

• Матричный

• Графический

Теоретический способ заключается в задании графика соответствия и множеств X и Y. Для графика соответствия справедливо: G X × YG=X × YGX × Y.

При задании матричным способом соответствие представляется в виде матрицы R_Г, размером n×m, где строки представляют элементы множества Х, столбцы – элементы множества Y, а элемент матрицы r_ijпринимает значения:

r_ij=1 – если существует кортеж <x_i,y_j>G;

r_ij=0, в противном случае.

Таким образом, соответствие можно представить в виде следующей матрицы:

R_Г=

Соответствие, заданное в графическом виде, представляет собой граф, вершинами которого являются элементы, принадлежащие множествам X и Y соответствия Г = (Х, Y,G),а кортежи вида <x_i,y_j>G представляются на графике соответствия в виде стрелок, направленных от x_i,к y_j:

Областью определения соответствия будем называть пр₁ G.

Областью значений соответствия будем называть пр₂ G.

Соответствие называется всюду определённым, если пр₁ G = X.

Соответствие называется сюръективным, если пр₂ G = Y.

Соответствие будем называть функциональным, или функцией, если его график не содержит пар с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами.

Соответствие называется инъективным, если его график не содержит пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами.

Соответствие называется отображениемX в Y, если оно всюду определено и функционально.

Соответствие называется отображениемX на Y, если оно всюду определено, функционально и сюръективно.

Соответствие называется взаимно однозначным, если оно функционально и инъективно.

Соответствие называется биекцией, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.

Образом множества А при данном соответствии называется множество Г(В) = {у|(х,у)ϵ G и хϵ А}.

Прообразом множества В при данном соответствии называется множество Г^-1 (В) = {х|(х,у)ϵ G и уϵ В}.

Множества называются равномощными, если между ними можно установить биекцию.

Множество называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел.

Множество называется континуальным, если оно равномощно множеству действительных чисел отрезка [0,1].

5.2 Операции над соответствиями

Поскольку соответствия можно считать множествами, то все операции над множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение и т.д.) можно применить и к соответствиям. Заметим, что, говоря о дополнении соответствия из А в В, мы имеем в виду дополнение до универсального соответствия из А в В, т.е. до декартова произведения А×В. Естественно, что и равенство соответствий можно трактовать как равенство множеств.

Объединением соответствий Γ₁ = <X, Y, F>и Γ₂ = <W, Z, P> называют соответствие Γ₁Γ₂ = <XW, YZ, FP>.

Пересечением соответствий Γ₁ = <X, Y, F>и Γ₂ = <W, Z, P> называют соответствие Γ₁Γ₂ = <XW, YZ, FP>.

Разностью соответствий Γ₁ = <X, Y, F>и Γ₂ = <W, Z, P> называют соответствие Γ₁\Γ₂ = <X\W, Y\Z, F\P>

Инверсией соответствия Γ= <X, Y, F> является соответствие Г^-1, такое, что множество Y является областью отправления соответствия Г^-1; множество X является областью прибытия соответствия Г^-1, а график соответствия F^-1 является инверсией графика F соответствия Г.

Композицией (произведением) соответствий Γ₁ = <X, Y, F>и Γ₂ = <W, Z, P>называют соответствие Γ₁·Γ₂ = <X, Z, F·P>. Поясним построение композиции двух соответствий. Областью отправления является область отправления Γ₁, областью прибытия – область прибытияΓ₂, а графиком – композиция графиков F и P.

В случае, если YW = Ø, то результатом композиции соответствий будет соответствие спустым графиком.

Соответствие Ω называется инверсией соответствия Г, если область отправления Г равна области прибытия Ω и график Г является инверсией графика Ω.

Четная инверсия оставляет соответствие самим собой, а нечетная – инвертирует. То есть (Г^-1)^-1= Г, а ((Г^-1)^-1)^-1 = Г^-1. Соответствие Г^-1= Г тогда и только тогда, когда график соответствия симметричен G=G^-1, а область отправления соответствия совпадает с областью прибытия.

Пример. Г =<G, X, Х>, X = {1,2, 3}, G = {< 1,1>< 2, 2 >}. Графическое представление этого соответствия:

Для соответствия так же, как для отношений и множеств справедлива операция композиции. Композиция соответствий определяется через композицию их графиков. Композиция соответствий не является пустой, если существует хотя бы один элемент уY& уZ. Пусть заданы соответствия Γ₁ = <G, X, Y>и Γ₂ = <H, Z, U>. Тогда Γ₁·Γ₂= <G·H. X, U>- определяет композицию двух соответствий.

Например, пусть заданы множества X = {a, b}, Y = {с, d} Z = {d, е} U = <k, l>. Для получения непустого результата композиции соответствий множество Z должно частично или полностью совпадать с множеством Y

Для любых трех соответствий существует следующее правило композиции:

(Γ₁·Γ₂)·Γ₃=Γ₁· (Γ₂·Γ₃)

Докажем это тождество.

1. Необходимость: <a, b>(Γ₁·Γ₂)·Γ₃ → <a, x>Γ₁·Γ₂ &<x, b>Γ₃<a, x₁>Γ₁ &<x₁, x>Γ₂ &<x, b>Γ₃ →<a, x₁>Γ₁ &<x₁, b>Γ₂·Γ₃→<a, b>Γ₁· (Γ₂·Γ₃).

2. Достаточность: <a, b>Γ₁· (Γ₂·Γ₃)→<a, x>Γ₁ &<x, b>Γ₂·Γ₃→<a, x>Γ₁ &<x, z>Γ₂ &<z, b>Γ₃ → <a, z>Γ₁·Γ₂ &<z, b>Γ₃→<a, b>(Γ₁·Γ₂)·Γ₃.

3. Следовательно, тождество справедливо.