3.3 Декартово произведение множеств

Пусть X₁,Х₂, ..., Х_n — множества.

Прямым (декартовым) произведением множеств X_i, i = 1,2, ..., n:

X₁×Х₂ ...× Х_n

называется множество всех упорядоченных наборов (x₁,x₂, ..., x_n), где x_iϵX_i, i = 1,2, ..., n.

Из определения декартова произведения следует, что A×B = Ø, если A= Ø или B = Ø:

A×B = ØA= Ø B = Ø.

По аналогии можно утверждать, что прямое произведение нескольких множеств равно пустому множеству тогда и только тогда, когда хотя бы одно из этих множеств пусто.

Пример 1. Пусть X = R, Y = R — множества точек двух числовых осей. Тогда декартовым произведением X × Y = R² является множество точек плоскости (см.рис.). Каждой точке плоскости соответствует пара точек (проекций) на числовых осях.

Пример 2. Пусть заданы множества А={1,2},В={3, 4, 5},тогдаA×B={<1, 3>,<1, 4>,<1, 5>,<2, 3>,<2, 4>,<2, 5>}

Декартово произведение двух множеств обладает следующими свойствами:

• A×B ≠ B×A–некоммутативность

• A× (B×С) = (A×B) ×C= A×B×C – ассоциативность

• A× (BC) = (A×B)(A×C) – дистрибутивность по объединению

• A× (BC) = (A× B)(A× C) – дистрибутивность по пересечению

• A× (B\C) = (A×B)\(B×C)– дистрибутивность по разности

• (A × B)(C × D)=(AC)×(BD)

3.4 Графики

График — это множество пар, т.е. множество, каждый элемент которого является парой или кортежем длины 2. Множество Р называется графиком, если каждый элемент его пара.

Пример. Множество Р = {<а, b>, <а, 1>, <с, d>}является графиком.

Если М — произвольное множество, то М², а также любое множество СМ² является графиком. В частности графиком является множество D² действительных чисел. Пусть заданы множества А и В, тогда А×В, СА×В являются графиками.

Понятие графика является обобщенным. В принципе оно происходит от понятия графика функции.

Областью определения графика Р называется множество пр₁P(проекция на первую ось (ось абсцисс) данного графика).

Областью значения графика называется множество проекций на вторую ось (ось ординат) (пр₂Р).

Легко видеть, что если Р — график, тогда если Р =Ø, то пр₁P = Ø & пр₂P=Ø.

Рассмотрим основные операции над графиками:

1. Инверсия (определяется через инверсию кортежа)

Инверсией графика Р называют множество инверсий пар из Р.

Пример. Р = {<с, d>, <а, b>}, Р^-1 = {<d, с>, <b, а>}.

График Q называется инверсией графика Р, если αQ тогда и только тогда, когда α^-1Р,где α - произвольный кортеж.

В теоретико-множественном виде запишем:

α^-1Р → αР^-1

αР → α^-1Р^-1

График Р называется симметричным, если он наряду с любой своей парой содержит ее инверсию. Например, Р = {<а, b>, <b, а>}

Пусть М — произвольное множество. Тогда считают ΔM — множество всех пар вида <х, х>, где х присутствует во всем множестве М. Таким образом, если М = {а, b},то ΔM = {<а, а>, <b, b>}— является симметричным графиком и называется диагональю.

2. Композиция

График R называется композицией двух графиков Р и Q, а также <x, y>R, тогда и только тогда, когда zтакое, что <х, z>Р &<z, у>Q.

Переход от графиков Р и Q к их композиции (Р·Q) называется компонированием графиков Р и Q.

Пример. Пусть Р = {<а, а>, <а, c>}, a Q = {<а, b>, <b, c>}, тогда P · Q = {<а,b>}.

Композиция графика Р и Ø равна Ø, то есть Р·Ø = Ø·Р = Ø.

Если М — произвольное множество и РМ², тогдаP·ΔM= ΔM· P=P.

Если операцию композиции графиков сопоставить с умножением чисел, то роль нуля будет играть пустое множество, а роль единицы диагональ (Δ).

Пусть <х,z>- произвольная пара из А·В. Тогда для нее справедливо высказывание:

<х, z>А · В(y(YW))(<x, y>A&<y, z>B).

Если некоторая пара <х, z>не принадлежит А· B, то истинно высказывание:

<х, z>А · В(y(YW))(<x, y>A&<y, z>B).

В операции композиции элемент у называется компонирующим элементом для пар <х, у>А и <y, z>В. Если множество компонирующих элементов пусто, то и результат композиции является пустым множеством:

А · В = Ø пр₂Апр₁В = Ø А·Ø = Ø·А = Ø.

Свойства операции композиции:

• A · B ≠ B · A – некоммутативность

• A · (B · С) = (A · B) ·C – ассоциативность

• A · (BC) = (A · B)(A · C) – дистрибутивность по объединению

• A · (BC) = (A · B)(A · C) – дистрибутивность по пересечению

• (A · B)^-1 = В^-1 · А^-1

Некоторые тождества следуют из определения композиции, остальные тождества доказываются уже известными методами.

Пример. Пусть P, Q, R – графики. Необходимо доказать следующее тождество: (P · Q) · R = P · (Q· R)

Доказательство.

1. Необходимость: <a, b>(P · Q) · R<a, z>(P · Q) &<z, b>R<a, x>P&<x, z>Q&<z, b>R<a, x>P&<x, b>(Q· R) <a, b>(P · (Q · R)) перваячастьдоказана

2. Достаточность:<a, b>(P · (Q · R)) <a, x>P&<x, b>(Q· R) <a, x>P& (<x, d>Q&<d, b>R) <a, x>P&<x, d>Q&<d, b>R<a, d>(P · Q) &<d, b>R<a, b>((P · Q) · R) втораячастьдоказана.

3. Значит, исходное тождество справедливо.

Основные свойства графиков:

• График Р называется функциональным, если в нем нет пар с одинаковыми первыми и разными вторыми компонентами. Например, Р ={<b, а>, <с, а>, <d, a>}.

• График Р называется инъективным, если в нем нет пар с различными первыми и одинаковыми вторыми компонентами. Например, Р ={<а,b>, < а, c>, <a, d>}.

Композиция функциональных графиков есть функциональный график, т.е. композиция сохраняет функциональность. Композиция инъективных графиков инъективна.

Итак, говорят, что график Р функционален тогда и только тогда, когда Р-1 инъективен. График Р инъективен тогда и только тогда, когда Р-1 функционален.