3. Значит, исходное тождество справедливо.

∙Основные свойства графиков:

∙График Р называется функциональным, если в нем нет пар с одинаковыми первыми и разными вторыми компонентами. Например, Р ={<b, а>, <с, а>, <d, a>}.

∙График Р называется инъективным, если в нем нет пар с различными первыми и одинаковыми вторыми компонентами. Например, Р ={<а,b>, < а, c>, <a, d>}.

∙Композиция функциональных графиков есть функциональный график, т.е. композиция сохраняет функциональность. Композиция инъективных графиков инъективна.

∙Итак, говорят, что график Р функционален тогда и только тогда, когда Р-1 инъективен. График Р инъективен тогда и только тогда, когда Р-1 функционален.

∙Глава 4. Отношения на множествах

o4.1 Понятие отношения

∙Отношение – это связь между любыми объектами в природе. На формальном языке отношение – это пара множеств, причем упорядоченное, первая компонента которой является подмножеством квадрата второй компоненты.

∙Бинарным отношением на множестве А называется пара Ф = (A,G), где А —область задания отношения, G —график отношения, причём

G А2.

42

∙Если (x,y) G, то будем писать хφу и говорить, что х и у

вступают в отношение φ. Если х и у не вступают в отношение φ, будем писать (хφу)’.

∙Множество DR = {х : ( y)xRy} называется областью определения

бинарного отношения R. Областью значений бинарного отношения R

называется множество IR= {у : ( x)xRy}.

∙Каждое бинарное отношение R есть подмножество прямого (декартова) произведения некоторых множеств X и У, таких, чтоDR XиIR Y.

∙Пример. Рассмотрим множество {(1,2); (2,4); (3,3); (2,1)}. Это бинарное отношение R для X = {1,2,3}; Y = {1,2,3,4}. Область определения такого отношения DR есть {1,2,3}Х, а область значений IR — множество {2,4,3,1} Y.

43

∙Обратным отношением для отношения R называется отношение R-1, такое, что R-1={(x,y):(y,x) R}

∙Множество упорядоченныхn-к, т. е. R X1×X2×…×Xn, называется n-

местным отношением φ для X1, X2, … ,Xn.

∙Многоместные отношения удобно задавать с помощью

реляционных таблиц. Такое задание соответствует перечислению множества n-к отношения φ. Реляционные таблицы широко используют в компьютерной практике в реляционных базах данных. При

этом имена множеств Xi называют атрибутами (свойствами), а элементы

xi Xi называют доменами (значениями) атрибутов. Заметим, что

реляционные таблицы широко используются в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.

o 4.2 Свойства отношений

∙Свойства отношений:

∙1. Рефлексивность: если a Aa φ a;

44

∙2. Антирефлексивность: если a Aa’ φ a;

∙3. Симметричность: если a,b Aa φ b→b φ a;

∙4. Антисимметричность: если a,b Aa φ b&bva→a=b;

∙5. Транзитивность: если a,b,c Aa φ b&b φ c→a φ c;

∙6. Полнота, или линейность: если a,b Aa≠ba φ b или b φ a.

∙Отношение φ=<Ф,М> называется пустым, если график Ф является пустым множеством. Т.е. φ=<Ø,М>. Другими словами имеется область задания отношения, на котором не задан график отношения.

∙Отношение φ=<Ф,М> называется отношением равенства, если

Ф=ΔМ. В теоретико-множественном плане можно записать, ( a,b М)

45