2.5 Булеан

Множество всех подмножеств множества М называется булеаном и обозначается 2М:

2М = {А| А М}

Теорема.Для конечного множества М |2М| = 2|M|

Доказательство:

Индукция по |M|. База: если |M| = 0, то М= Ø и 2Ø = {Ø}. Следовательно,

|2Ø | = |{Ø}| = 1 = 20=2|Ø|.

Индукционный переход: пусть M |М| <k→|2М| = 2|M|. Рассмотрим М =

{а1,... ,ak},

|М| = k. Положим

M1 = {X 2M |akϵX} иМ2 = {X 2м | ak X}.

Имеем 2M = M1UМ2 и Mi∩М2 = Ø. По индукционному предположению | M1| = 2k-1,

|M2| = 2k-1. Следовательно, |2М| = |M1| + |M2| =2k-1 + 2k-1=2×2k-1 =2k=2М. Пример. Пусть X = {1,2,3}. Тогда множество всех подмножеств X

будет

2X = {0, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, X}.

Глава 3. Упорядоченные множества

3.1 Кортеж

Пусть А и В — произвольные множества. Упорядоченная пара на множествах А и В, обозначаемая записью <a,b>, определяется не только

29

самими элементами а А и b В, но и порядком, в котором они записаны. И в

этом состоит ее существенное отличие от неупорядоченной пары. Если А = B, то говорят об упорядоченной паре на множестве А.

Две упорядоченные пары <a,b>и <c, d>на множествах А и В называют

равными, если а = c и b = d.

Упорядоченную пару <a,b>не следует связывать с множеством {а, b}, так как упорядоченная пара характеризуется не только составом, но и порядком элементов в ней. Более того, определение этого объекта вообще не позволяет рассматривать его как множество. Но упорядоченную пару можно определить и как множество, полагая, что упорядоченная пара <а,b> есть неупорядоченная пара {{а}, {а, b}}, включающая в себя одноэлементное множество {а} и неупорядоченную пару {а, b}. При а = b получаем <a,a>= {{а}}. Такое определение не изменит сути понятия, но тогда следует не определять явно равенство упорядоченных пар, а доказывать теорему о равенстве упорядоченных пар как определенного вида множеств.

Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n- набор, или кортеж. В отличие от конечного множества {a1,...,an} кортеж <a1, ..., аn> на множествах А1, ..., Аn характеризуется не только входящими в

него элементами a1 А1, ..., аn Аn, но и порядком, в котором они перечисляются.

Два кортежа α=<a1, ..., аn>и β=<b1, ..., bn>на множествах А1, ..., Аn

равны, если ai=bi, i=1,n.

30

Определим понятие проекции множества. Как отмечено это понятие будет определено только для случая, когда проектируемое множество состоит из кортежей, причем все кортежи имеют одинаковую длину.

Проекция множества М — это множество проекций кортежей из М. Пусть задано множество кортежей М длины s, s> 0.

1) Пусть 1 ≤i≤s, тогда проекцией множества М на i-тую ось называется множество проекций кортежей из М на i-тую ось и обозначается: прiM.

2)Пусть задано произвольное число q, такое, что 2 ≤q≤s, и задано число осей 1≤i1≤i2≤...≤iq≤s. Тогда проекцией множества М на оси с номерами i1,i2,...,iq называется множество проекций кортежей из М на оси с номерами i1,i2,...,iq.

3)Проекцией множества М на пустое множество осей называется

множество проекций кортежей из М на пустое множество: прØМ.

Пример. Пусть М = { < 1, 2, 3, 4, 5 >, < 2, 1, 3, 5, 5 >, < 3, 3, 3, 3, 3><3, 2, 3, 4, 3><а, b, а, 1,а>}.Тогда пр2М = { 2, 1,3, 2, b }, пр2,4М = { <2,4>, <1, 5>, <3, 3>, <2, 4>, <b, 1> }, пр67М = Ø.

Пусть М — произвольное множество, длина которого s, s≥2. Тогда множество Ms состоит из кортежей длины s и значит, его можно проектировать. Операция проектирования множества основана на описанных правилах построения проекций кортежей и множеств. Для любого натурального числа 1 ≤i≤sпроекция пpiMs= М.

Согласно определению операции проектирования, можно сказать, что для произвольного кортежа <х, у> истинны следующие высказывания:

<х, у> А x пр1A & y пр2A,

х пр1A y пр2A <х,у> А.

Приведем основные свойства операции проектирования:

32

Пусть A X×Y, B X×Y, тогда для любых x X и у Y ( x X &y Y)

истинно:

∙пр1X×Y=Xпр2X×Y=Y

∙пр1X2=пр2X2=X

∙пр1A B=пр1A пр1Bпр2A B=пр2A пр2B

∙пр1A∩B пр1A∩пр1Bпр2A∩B пр2A∩пр2B

∙пр1A=пр2A-1пр2A=пр1A-1

33

∙x пр1A y Y<x,y> Ay пр2A x X<x,y> A

∙x пр1A& y пр2A w Y z X<x,w> A&<z,y> A

∙В то же время в общем случае ложными являются следующие высказывания:

∙x пр1A <x,y> Ay пр2A <x,y> A

∙x пр1A& y пр2A→<x,y> A

∙пр1A=пр1B A=Bпр2A=пр2B A=B

∙пр1A=пр1B&пр2A=пр2B A=B

∙Некоторые из перечисленных высказываний следуют из определения прямого произведения. Для доказательства других свойств необходимо использовать методы доказательств тождеств с множествами.

34