Разбиением множества Y называется набор его попарно

непересекающихся подмножеств Xά, άϵ А, где А – некоторое множество

индексов, такой, что Y = UXά, άϵ А.

Приоритет выполнения операций.

Сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения, объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками. Если в выражении есть знаки пересечения и объединения и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

2.3 Свойства операций над множествами

Пусть задан универсум U. Тогда А, В, С U выполняются следующие

свойства:

1. идемпотентность:

A A=А,

А∩А = А;

2. коммутативность:

21

A B = B A,

А∩ В = В∩ А; 3.ассоциативность:

A (В С) = (A В) С,

А ∩(В ∩С) = (A∩В) ∩ С; 4.дистрибутивность:

A (В∩ C) = (A B) ∩ (A C),

А ∩ (В С) = (А ∩ В) (А∩С);

5.поглощение:

(A∩B) А = А,

(А В) ∩А = А;

22

6.свойства нуля:

A Ø = А,

A∩Ø= Ø; 7.свойства единицы:

A U = U,

A∩U = A; 8.законыдеМоргана:

(A ∩ B)’ = A’ B’,

(А В)’= A’ ∩ B’;

9. свойства дополнения:

АА’ = U,

А∩ А’ = Ø;

10. выражение для разности:

А\В =A∩ B’.

23

2.4 Примеры доказательств тождеств с множествами

Пример 1. Доказать или опровергнуть справедливость тождества(A B)

∩C=(A∩C) (B∩C).

Доказательство. Докажем, используя метод взаимного включения.

Пусть(A B) ∩C=E, a(A∩C) (B∩C)=F.Тогда необходимо доказать или

опровергнуть следующее:

E F & F E.

1. Докажем необходимость: E F.

24

a E a (A B) ∩C a (A B)& a C (a A a B)& a C

a (A∩C) a ( B∩C) a (A∩C) (B∩C)a F.

2. Докажем достаточность:F E

a F a (A∩C) (B∩C) a (A∩C) a ( B∩C) (a A & a C)

(a В& a C) a (A B)& a C a (A B) ∩C a E.

3. Следовательно, E=F, т.е. исходное тождество справедливо.

Пример 2. Доказать или опровергнуть справедливость тождества A\

((A∩B) (A\B))= .

25

Доказательство. Докажем методом от противного: предположим, что это выражение не равно пустому множеству.

a A\((A∩B) (A\B)) a A & a ((A∩B) (A\B)) a A & (a (A∩B)&

a (A\B)) a A & (a A & a B) &(a A a B)

Получаем противоречие: элементa одновременно принадлежит и не

принадлежит множеству A. Значит, первоначальное предположение неверно и

исходное тождество справедливо, т.е. равно .

Пример 3. Доказать, чтоA B B’ A’.

26

Доказательство. Пусть А и В – подмножества некоторого универсума

U, А B

Значит B’ A’.

Пример 4.Доказать(A B) ∩C=(A∩C) (B∩C).

27