Рассмотрим некоторое множество X, которое не содержит себя как свой элемент.
Пусть Y — множество всех таких множеств X, т. е. множество всех множеств, не содержащих себя как свой элемент.
Зададимся вопросом: каково множество Y? Содержит оно себя как элемент или нет? Возможны два случая: 1) содержит; 2) не содержит.
В первом случае YϵY. Тогда по определению множества Y имеем Y Y.
Получили противоречие.
Во втором случае Y Y. Тогда по определению множества Y имеем YϵY.
Получили также противоречие.
Иногда этот парадокс Рассела облекают в бытовую форму. Тогда появляется следующая парадоксальная ситуация. В полку имеется полковой Брадобрей, который руководствуется следующим приказом. Брить бороды только у тех людей, которые сами себя не бреют. Спрашивается, может ли Брадобрей брить себе бороду? Получается так, что если он не бреет себе бороду, то по приказу он должен себя брить. Как только Брадобрей начинает брить себе бороду, то по приказу он не должен себя брить. Парадокс.
Избежать парадоксов удается только в рамках аксиоматической теории множеств, т. е. теории, которая ограничивает способы задания множеств специальной аксиоматикой.
Глава 2. Операции над множествами
2.1 Сравнение множеств
Если из элементов двух множеств можно составить пары таким образом, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго множества соответствовал один и только один элемент первого множества, то
17
говорят, что между такими двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие.
Два множества равны, если они являются подмножествами друг друга:
А = В = А В & В А.
Мощность множества М обозначается как |М|. Для конечных множеств мощность - это число элементов. Например, |0| = 0, но |{0}| = 1. Если |А| = |В|, то множества А и В называются равномощными.
Если множества A и В содержат одни и те же элементы и мощности их равны, то эти множества считаются равными. Это обозначается так: А=В. Неравные множества состоят из различных элементов, обозначается так: А≠В.
Равенство множеств обладает следующими свойствами:
•А = В - рефлексивность;
•если А = В, то В = А - симметричность;
•если А = В и В = С, то А = С - транзитивность.
Отметим, что множества, которые содержат себя в качестве одного из своих элементов, называются экстраординарными. Остальные множества, не относящиеся к ним, называются ординарными.
2.2 Операции над множествами
Объединением, двух множеств обозначаемое XUY и состоящее из одному из множеств X или Y:
XUY = {х | хϵX или х ϵY}.
X и Y называется множество, элементов, принадлежащих хотя бы
Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:
18
Пример. Рассмотрим два множества X = {1,3,5} и Y = {3,5,9}. Их объединением XUY будет множество {1,3,5,9}.
Пересечением, множеств X и Y называется множество, обозначаемое X∩Y состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств X и Y:
X∩Y = {х | хϵX и х ϵY}.
Поясним определение пересечения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:
Пример. Рассмотрим два множества Х = {1,3,5} и Y= {3,5,9}. Тогда пересечением этих множеств будет X ∩Y = {3,5}.
Разностью множеств X и Y называется множество, обозначаемое X\Y и состоящее из всех элементов X, не принадлежащих Y:
X\Y = {х | хϵX и х Y}.
Поясним определение разности множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:
19
Пример. Рассмотрим два множества X = {1,3,5}, Y= {3,8,9}. Разностью этих множеств будет множество X\Y= {1,5}.
Симметричной разностью множеств X и Y называется множество
X∆Y = (X\Y)U(Y\X):
X∆Y = {х | (х ϵX и х Y) и (х X и х ϵY)}.
Дополнением к множеству Xотносительно универсального множества U называется множество X’ = U\X :
X’={x| x X}
20