ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

Лекции

Раздел 1. Теория множеств

Глава 1. Множества и подмножества

1.1 Элементы и множества

Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. Можно сказать, что множество — это любая определенная совокупность объектов. Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами. Элементы множества различны и отличны друг от друга.

Примеры. Множество Sстраниц в данной книге. Множество N натуральных чисел 1, 2, 3, ....Множество Р простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, ...

Если объект х является элементом множества М, то говорят, что х

принадлежит М. Обозначение: хϵ М. В противном случае говорят, что х не

принадлежит М. Обозначение: х М.

Множества, как объекты, могут быть элементами других множеств. Множество, элементами которого являются множества, обычно называется

классом или семейством.

Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U (своего для каждого случая), которое называется универсальным множеством, или универсумом.

Из соображений формального удобства вводят еще так называемое "пустое множество", а именно, множество, не содержащее ни одного

13

элемента. Его обозначают Ø, иногда символом 0 (совпадение с обозначением числа нуль не ведет к путанице, так как смысл символа каждый раз ясен).

Обозначим множество n первых натуральных чисел через Jn = {1,2, ..., n}. Множество X называется конечным, если оно эквивалентно Jn при некоторомn. Число n называется количеством, или числом, элементов множества X. Для конечного множества X через |Х| обозначим число элементов этого множества, т.е. |Х| = n. Пустое множество считается конечным с числом элементов равным нулю, т. е. |Ø| =0. Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными.

Если каждый элемент множества A входит во множество B, то A

называется подмножеством B, а B называется надмножеством A. ПишутA B,

B A (A входит в B или A содержится в B, B содержит A). Очевидно, что если

A B, и B A, то A = B. Пустое множество по определению считается

подмножеством любого множества.

Если каждый элемент множества A входит в B, но множество B

содержит хотя бы один элемент, не входящий в A, т. е. если A B, иA≠B, то A

называется собственным подмножеством B, а B - собственным

14

надмножеством A. В этом случае пишут A B, B A. Например, запись А≠0

и А 0 означают одно и то же, а именно, что множество A не пусто.

Заметим еще, что надо различать элемент a и множество {a}, содержащее a в качестве единственного элемента. Такое различие диктуется не только тем, что элемент и множество играют неодинаковую роль (отношение не симметрично), но и необходимостью избежать противоречия. Так, пусть A = {a, b} содержит два элемента. Рассмотрим множество {A}, содержащее своим единственным элементом множество A. Тогда A содержит два элемента, в то время как {A} - лишь один элемент, и потому отождествление этих двух множеств невозможно. Поэтому рекомендуется

применять запись аϵА , и не пользоваться записью a A.

1.2 Способы задания множеств

Существуют два основных способа задания множеств:

1.Перечислительный способ (перечисление элементов)

2.Высказывательный способ (описание свойств элемента). Перечислительный способ состоит в составлении полного списка

элементов множества, заключенного в фигурные скобки и применяется только для конечных множеств с небольшим числом элементов. Множество записывается в следующей форме:

X = {X1,Х2, … ,Хn}.

15

Примеры. А={Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон} - это множество планет солнечной системы, В={ФИТиУ, ФКСИС, ФРЭ, ФТК, ИЭФ, ВФ} - это множество факультетов университета.

Высказывательный способ состоит в задании такого свойства, наличие которого у элементов определенного множества является истиной. Описание свойства элементов обычно задается так: пусть

Р(х) — утверждение, заключающееся в том, что элемент х обладает свойством Р. Тогда запись

Х = {x M | Р(х)}

означает, что рассматриваемое множество Х состоит из элементов некоторого множества М, обладающих свойством Р.

Пример. Запись А={x R| (x2+2x-15=0)} означает, что множество A

состоит из действительных корней уравнения: x2+2x-15=0. Это же множество можно также задать перечислительным способом: A={-5,3}.

Конечное множество может быть задано обоими способами, а бесконечные – лишь высказывательным способом. Пустые множества относятся к конечным.

Если рассматривать теорию множеств без ограничений на способы задания множеств, то такая теория называется наивной теорией множеств.

Еще при жизни Г. Кантора, создателя наивной теории множеств, были обнаружены многочисленные парадоксы в этой теории.

Приведем один из известных парадоксов Б. Рассела.

Пусть М — множество всех множеств. Тогда очевидно, что М ϵ М. Тем

самым, существуют множества, содержащие себя как свой элемент.

16