∙

∙Рисунок

∙Теорема. Пусть G — связный граф; он ориентируем тогда и только тогда, когда каждое его ребро содержится по крайней мере в одном цикле.

o3.2 Орграфы и матрицы

∙ Матрицей смежностей А(D) орграфа D называется (р×р)-матрица ||aij||, у которой aij= 1, если ViVj- дуга орграфа D, и aij=0 в противном случае. Матрица смежностей которого имеет вид (рис. 26):

∙

∙Рисунок

∙Легко проверить, что суммы элементов по строкам матрицы A(D) равны полустепеням исхода вершин орграфа D, а суммы элементов по столбцам - полустепеням захода.

∙Как и в случае графов, степени матрицы смежностей А орграфа дают полную информацию о числе маршрутов, идущих из одной вершины в

110

другую. Теорема. (i, j)-й элемент аijn матрицы А" равен числу маршрутов длины n, идущих из вершины vi в вершину vj.

∙ Упомянем здесь вкратце еще о трех матрицах, связанных с орграфом Ds - о матрице достижимостей, матрице расстояний и матрице обходов. В матрице достижимостей R элемент rij равен 1,если вершина vi достижима из vj и равен 0 в противном случае. В матрице расстояний (i, j)-й элемент равен расстоянию из вершины vi в вершину vj; если же из vi в vj нет путей, то соответствующий элемент полагаем равным бесконечности. В матрице обходов (i, j)-й элемент равен длине наиболее длинного пути из vi в vj, а если таких путей нет, то опять-таки полагаем этот элемент равным бесконечности. Для орграфа D, показанного на рис. 27.

∙

∙Рисунок

∙Следствие. Элементы матриц достижимостей и расстояний связаны со степенями матрицы А следующими соотношениями:

∙1) rii = 1 и dii = 0 для всех i;

∙2) rij = 1 тогда и только тогда, когда aijn> 0 для некоторого n;

∙3) d(vi,vj) равно наименьшему из чисел n, для которых aijn> 0

∙Эффективных методов для нахождения элементов матрицы

обходов не существует. Эта проблема тесно связана с некоторыми другими давно поставленными алгоритмическими проблемами теории графов, такими, как нахождение остовных циклов и контуров, а также решение задачи о коммивояжере.

111

∙ Поэлементное произведение В×С матриц B=||bij|| и C=||cij|| имеет своим (i, j)-м элементом bijcij. Матрицу достижимостей орграфа можно использовать для нахождения его сильных компонент.

o3.3 Ориентированные эйлеровы графы

∙Ориентированной эйлеровой цепью ориентированного графа G называется замкнутая ориентированная цепь, содержащая все дуги G.

∙Открытой ориентированной эйлеровой цепью называется открытая ориентированная цепь, содержащая все дуги графа G.

∙Ориентированный граф, обладающий ориентированной эйлеровой цепью, называется ориентированным эйлеровым графом(рис. 28).

∙

∙Рисунок

∙

∙Ориентированным эйлеровым графом является граф, изображенный на рис. 28, поскольку дуги е1 e2, е3, е4, е5, е6 образуют в графе G ориентированную эйлерову цепь.

∙Теорема. Для связного ориентированного графа G следующие утверждения равносильны:

∙1) G - ориентированный эйлеров граф;

∙2) для любой вершины v графа G справедливо равенство d - (v) = d+(v);

∙3) G - объединение нескольких реберно-непересекающихся

контуров.

∙Рассмотрим, например, ориентированный эйлеров граф G на рис.

28.Легко проверить, что он обладает свойством, сформулированным в п. 2

112

теоремы, и является также объединением реберно-непересекающихся контуров {е2, е3) и {e1, e4, e5, e6}.

∙Легко доказать и следующую теорему:

∙Теорема. Связный ориентированный граф содержит открытую ориентированную эйлерову цепь тогда и только тогда, когда выполняются условия:

∙1) в графе G имеются такие две вершины v1 и v2, что d+ (v1)=d- (v1)+1 и d- (v2) = d+(v2)+1;

∙2) для любой вершины v, отличной от v1 и v2, справедливо равенство d- (v) - d+ (v).

∙Например, условиям этой теоремы удовлетворяет граф на рис. 29. Открытой ориентированной эйлеровой цепью графа G является последовательность e1, е2, e3, e4, е5, е6.

∙

∙Рисунок

∙Эйлеров контур в орграфе D — это замкнутый остовный маршрут, в котором каждая дуга орграфа D встречается по одному разу. Орграф называется эйлеровым, если в нем есть эйлеров контур.

∙Для орграфа, показанного на рис. 30; в этом орграфе 14 эйлеровых контуров. Два из них такие: v1, v2, v3, v4, v2, v1, v3, v1, v4, v1 и v1, v2, v1, v4, v2, v3, v4, v1, v3, v1.

113