∙A\B = (A B) – (A∩B) = (A – B) + (B – A) = (A – B) (B – A) = (A

+B) – 2·(A∩B);

∙A + B = (A B) + (A∩B) = A\B + 2·(A∩B).

Раздел 2. Теория графов

∙Глава 1. Основные понятия

o1.1 Определения и примеры

∙ Граф G=(V, Е) состоит из двух множеств: конечного множества элементов, называемых вершинами, и конечного множества элементов, называемых ребрами. Каждое ребро определяется парой вершин. Если ребра графа определяются упорядоченными парами вершин, то G называется направленным или ориентированным графом. В противном случае G называется ненаправленным или неориентированным графом. Для обозначения вершин графа будем использовать символы v1, v2, v3,…, а для обозначения ребер - е1, е2, е3, . . . . Вершины vi и vj, определяющие ребро ei, называются концевыми вершинами ребра еi. В этом случае ребро еi обозначается как ei=(vi, vj). Заметим, что в множестве Е допускается более чем одно ребро с одинаковыми концевыми вершинами. Все ребра с одинаковыми концевыми вершинами называются параллельными. Кроме того, концевые вершины ребра не обязательно различны. Если еi= (vi, vi), то ребро ei называется петлей. Граф называется простым, если он не содержит петель и параллельных ребер. Граф G является графом порядка n, если множество его вершин состоит из n элементов.

82

∙Граф, не имеющий ребер, называется пустым. Граф, не имеющий вершин (и, следовательно, ребер), называется нуль-графом.

∙Графически граф может быть представлен диаграммой, в которой вершина изображена точкой или кружком, а ребро — отрезком линии, соединяющим точки или кружки, соответствующие концевым вершинам ребра. Например, если V={v1 v2, v3, v4, v5, v6} и E= {e1, e2, e3, e4, e5}, такие, что e1=(v1, v2), e2=(v1, v4), e3= (v5, v6), e4= (v1, v2), e5=(v5,v5), тогда граф G=(V, E) представляется так, как изображено на рис. 1. В этом графе е1 и e4 -

параллельные ребра, е5 - петля. Говорят, что ребро инцидентно своим концевым вершинам. Две вершины смежны, если они являются концевыми вершинами некоторого ребра. Если два ребра имеют общую концевую вершину, они называются смежными.

∙

∙Рисунок

∙Например, в графе на рис. 1 ребро е1 инцидентно вершинам v1 и v2; v1 и v4 являются смежными вершинами, а е1 и е2 - смежными ребрами.

∙Число инцидентных вершине vi ребер называется степенью вершины и обозначается d(vi). Иногда степень вершины называется также ее валентностью. Вершина степени 1 называется висячей вершиной. Единственное ребро, инцидентное висячей вершине, называется висячим. Вершина степени 0 называется изолированной. По определению петля при вершине vi добавляет 2 в степень соответствующей вершины. Величины δ(G)

и∆(G) обозначают минимальную и максимальную степени вершины в G соответственно.

∙В графе G на рис. 1 d(v1) = 3, d(v2) = 2, d(v3) = 0, d (v4) = 1, d (v5) =

3, d(v6) = 1.

83

∙ Заметим, что v3- изолированная вершина, v4 и v6- висячие вершины, е2 — висячее ребро. Легко проверить, что сумма степеней вершин в данном графе G равна 10, тогда как число ребер равно 5. Таким образом, сумма степеней вершин графа G равна удвоенному числу ребер графа G и, следовательно, является четным числом. Более того, можно показать, что число вершин графа G нечетной степени также четно. Эти результаты свойственны не только графу на рис. 1.

o1.2 Способы задания графов

∙ Первое и на наш взгляд самое простое задание графа - это представление его с помощью картинки в соответствии с геометрическим определением графа. При этом, в соответствии с договоренностью выше, вершинам конкретного представления графа будут приписаны номера.

∙ Так на рис.2 даны два представления одного и того же графа.

∙

∙

∙Рисунок

∙

∙ Другое задание графа - списком. Можно считать, что в соответствии с теоретико-множественным определением графа все элементы

множества R V×V, входящего в определение, т.е. упорядоченные пары,

упорядочены сначала по первым элементам пар, а затем по вторым, в соответствии с нумерацией вершин (нумерацией элементов множества V). Тогда два представления графа с рис.2 будут заданы двумя списками (рис. 3):

∙

84

∙

∙Рисунок

∙В первом столбце - первые элементы пар, затем по строкам, списком через запятую, идут вторые элементы.

∙Третье задание графа - матрицами. Ниже выписаны две матрицы - A и B, задающие два представления графа с рис. 2:

∙

∙

∙Рисунок

∙Большинство задач информатики удобно решать при использовании матричного задания графов. Квадратная таблица R = ||ri,j||nx(n) называется матрицей смежности, если ее элементы образуются по правилу:

∙

∙ri,j =

∙

∙ Представления графа в соответствии с различными определениями будем называть различными видами представлений. Между различными видами представлений графа существует взаимнооднозначное соответствие. Действительно, поскольку речь идет о представлении графа, то множество вершин можно считать пронумерованным. Тогда дуге (ребро будем рассматривать как пару противоположно направленных дуг), идущей из вершины i в вершину j будет соответствовать упорядоченная пара (i, j) или,

85