∙Глава 6. Мультимножества

∙Мультимножество - это множество с повторяющимися элементами, где один и тот же элемент может присутствовать многократно, особенностью мультимножества является понятие кратности вхождения элемента. Элементы мультимножеств будем обозначать строчными буквами с подстрочным индексом М: aM, bM, …; а мультимножества – прописными буквами с подстрочным индексом М: AM, BM, …

∙Примером мультимножеств могут служить, например, следующие совокупности элементов a, b, c, d, e, f, g, h:

∙AM = {a, b, a, d, e, c, a, b, h, h}, BM = {d, d, e, b, b, d, e, e, h}, CM = {a, a, d, a, c, a, a, e, c, c, g, g, g}.

∙Порядок следования элементов в мультимножестве считается несущественным. Тогда приведенные мультимножества A, B, C можно переписать следующим образом:

∙AM = {3a, 2b, c, d, e, 2h}

∙Отметим, что отсутствующие элементы не указываются в записи мультимножества.

∙Формальное определение мультимножества, данное А.Б Петровским:

∙Мультимножеством АМ, определенном на множестве А={x1, x2, …}, вес элементы хi, которого различны, называется совокупность групп одинаковых элементов

∙AM={k1x1, k2x2, …}, xi A.

∙Группу одинаковых элементов kixi, называют компонентой мультимножества, элементы xi, входящие в компоненту kixi, – экземплярами элементов мультимножества. Функция ki принимающая числовые значения,

определяет число вхождений элемента xi Aв мультимножество AM. Ее также

73

называют функцией кратности или функцией числа экземпляров мультимножестваAM.

∙Говорят, что элемент xi принадлежит мультимножеству AM

(обозначается xi AM) и в мультимножестве AM имеется ровно kэкземпляров

элемента xi, тогда и только тогда, когда кратность элемента xi равна kixi> 0. Когда кратность элемента xi равна нулю kixi = 0, тогда говорят, что элемент xi

не содержится в мультимножестве AM (обозначается xi AM). Тем самым

принадлежность элемента xi мультимножеству AM определяется значением функции кратности.

∙Если все мультимножества семейства Θ(AM) = {A1M, A2M, …} образуются из элементов одного и того же множества G = {x1, x2, …}, то множество G называется порождающим множеством или доменом для семейства Θ(AM). В качестве порождающего множества G может выступать любое непустое (конечное или бесконечное) множество.

∙Основными характеристиками мультимножества являются мощность и размерность. Мощность мультимножества AMопределяется как общее число экземпляров всех его элементов

∙|AM |=cardAM,

∙а размерность мультимножества А– как общее число различных элементов

∙/AM / = dimAM.

74

∙Размерность мультимножества не превосходит его мощности и

мощности домена /AM/≤|AM|,/AM/≤|G|. Мощность мультимножества |AM | в

общем случае не связана с мощностью домена |G|. Конечные мультимножества, имеющие мощность т и состоящие из т элементов (cчитая повторения), называют m-кардинальными мультимножествами или

т-мультимножествами, а имеющие размерность пи состоящие из п компонент - n-мерными мультимножествами.

∙Высотой или пиковым значением мультимножества АM

называется максимальное значение его функции кратности ki, а элемент xA*, для которого функция кратности kA максимальна, - пиком или пиковым элементом мультимножества АM.

∙Мультимножество удобно изображать графически в виде ступенчатой гистограммы, по оси абсцисс которой расположены элементы основного множества A или домена G, а по оси ординат отложены значения ki(xi) функции кратности, показывающие количество экземпляров элемента xi

вмультимножестве AM. Таким образом, каждый столбец гистограммы соответствует определенной компоненте мультимножества АM. Ширина гистограммы равна размерности /АM/ мультимножества, а высота гистограммы есть высота мультимножества АM. Мощность мультимножества | АM| будет численно равна площади фигуры, ограниченной гистограммой.

∙Для мультимножеств справедливы теоретико-множественные понятия, введенные для множеств.

∙Рассмотрим возможные способы сопоставления мультимножеств, обусловленные особенностями их различных характеристик. Мультимножества АM и BM называются равными (AM = BM), если ki(xi) = kj(xj)

для всех элементов xi, xj G, ki(xi) АM,kj(xj) BM. В противном случае эти

75