∙Обратное отображение обозначается f -1. Оно существует не
всегда. Необходимое и достаточное условие существования обратного отображения дает следующая теорема.
∙Теорема. Отображение f имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно.
∙Доказательство. Пусть f: X → Y.
1.Необходимость: Итак, пусть существует обратное отображение f -1 = g: Y → X.
∙Рассмотрим любой у ϵY и х = g(у). Тогда f(x) = f(g(y)) = у и х –
прообраз у при отображении f. Таким образом, любой у ϵY имеет прообраз x,
т.е. f сюръективно.
∙Далее, если x, х1ϵ X, причем f(x) = f(х1), то g(f(x)) = g(f(х1)).
Следовательно, т. е.
∙ех(x)=ех(х1),
∙х = х1 и f инъективно. Отсюда f биективно, и необходимость
доказана.
2. Достаточность: Пусть f биективно.
∙Определим отображение g: Y →Х следующим образом. Положим
g(у) = х, если f(x) = у. В силу биективности f отображение g определено на всем Y, и g = f -1.
o5.5 Функция
∙ Понятие «функции» является одним из основополагающих в математике. В данном случае подразумеваются прежде всего функции, отображающие одно конечное множество объектов в другое конечное 67
множество. Мы избегаем использования термина «отображение» и предпочитаем слово «функция» в расчете на постоянное сопоставление читателем математического понятия функции с понятием функции в языках программирования.
∙Пусть f — отношение из А в В, такое что
∙a (a,b) ϵf&(а,с) ϵf b = с.
∙Такое свойство отношения называется однозначностью, или
функциональностью, а само отношение называется функцией из А в В и
обозначается следующим образом: f:A→В. Если f: A→В, то обычно используется префиксная форма записи:
∙b = f(a)=(a,b) ϵf.
∙Если b = f(a), то а называют аргументом, а b — значением
функции.
∙Пусть f:A→ В, тогда
∙область определения функции: fА= {aϵА | bϵВ b= f(а)};
∙область значений функции: fB= {bϵВ| аϵAb = f(а)}.
68
∙Если fА = A, то функция называется тотальной, а если fА≠A —
частичной. Сужением функции f:A→ В на множество М А называется
функция f|M, определяемая следующим образом:
∙f|M = {(а, b) | (а, b) ϵf& а ϵ М}
∙Для тотальной функции f= f|fA.
∙Функция f: A1×…× Ап→ В называется функцией n аргументов, или п-местной функцией.
∙Пусть f:A→ В. Тогда функция f называется:
∙инъективной, еслиb = f(a1) & b = f(a2) a1 = a2;
∙сюръективной, если bϵ В aϵА b = f(а);
∙биективной, если она инъективная и сюръективная.
∙Биективную функцию также называют взаимнооднозначной.
∙Следующий рисунок иллюстрирует понятия отношения, функции, инъекции, сюръекции и биекции.
69
∙
∙
∙ Теорема. Если f:A→ В — тотальная биекция (fА = А), то
отношение f -1 В ×А (обратная функция) является биекцией.
∙Доказательство.
∙Поскольку f — биекция, имеем (b1= f (a)&b2 = f (a) b1 = b2) &(b=
f(a1) &b = f (а2) a1 = a2) &( bϵВ aϵА b = f(а)).
∙Покажем, что f -1 — функция.
∙f -1 = {(b,а) | aϵА &bϵВ&b = f(а)}.
70
∙Пустьa1 = f -1(b) &а2 = f -1(b). Тогдаb= f(a1) &b = f (а2) a1 = a2.
∙Покажем, что f -1— инъекция. Пусть a1 = f -1(b1)& а2 = f -1(b2). Тогда
b1= f (a)&b2 = f (a) b1 = b2.
Покажем от противного, что f -1— сюръекция.
∙
∙ Пусть aϵА¬ bϵВ a = f -1(b). Тогда aϵА bϵВ a≠f -1(b). Обозначим
этот элемент a0. Имеем ba0≠f -1 (b) bb≠f (a0) a0 fA А→ a0 А.
∙ |
Пусть f:A→ В и пусть А |
|
A, В В. Тогда множество |
|
1 |
1 |
∙ F(А1) = {bϵВ | аϵА1b = f(а)}
71