∙Таким образом, ui+1 ui&ui+1 ui ui+1= ui – противоречие.

∙Вполне упорядоченное конечное множество содержит один минимальный элемент, а в произвольном конечном частично упорядоченном множестве их может быть несколько.

∙Теорема. Всякий частичный порядок на конечном множестве может быть дополнен до линейного.

∙Глава 5. Соответствия и функции

o5.1 Основные понятия соответствия

∙Соответствием между множествами X и Y будем называть тройку объектов:

∙Г = (Х, Y,G), где X — область отправления соответствия, Y — область прибытия соответствия, G — график соответствия, причём G X × Y.

∙Существует три способа задания соответствия:

∙Теоретический

∙Матричный

∙Графический

∙Теоретический способ заключается в задании графика соответствия и множеств X и Y. Для графика соответствия справедливо: G X

×Y G=X × Y G X × Y.

∙При задании матричным способом соответствие представляется в виде матрицы RГ, размером n×m, где строки представляют элементы

56

множества Х, столбцы – элементы множества Y, а элемент матрицы rijпринимает значения:

∙rij=1 – если существует кортеж <xi,yj> G;

∙rij=0, в противном случае.

∙Таким образом, соответствие можно представить в виде следующей матрицы:

∙RГ=101001100001

∙Соответствие, заданное в графическом виде, представляет собой граф, вершинами которого являются элементы, принадлежащие множествам

X и Y соответствия Г = (Х, Y,G),а кортежи вида <xi,yj> G представляются на

графике соответствия в виде стрелок, направленных от xi,к yj:

∙

∙Областью определения соответствия будем называть пр1 G.

∙Областью значений соответствия будем называть пр2 G.

∙Соответствие называется всюду определённым, если пр1 G = X.

∙Соответствие называется сюръективным, если пр2 G = Y.

∙Соответствие будем называть функциональным, или функцией, если его график не содержит пар с одинаковыми первыми и различными

вторыми координатами. 57

∙Соответствие называется инъективным, если его график не содержит пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами.

∙Соответствие называется отображениемX в Y, если оно всюду определено и функционально.

∙Соответствие называется отображениемX на Y, если оно всюду определено, функционально и сюръективно.

∙Соответствие называется взаимно однозначным, если оно функционально и инъективно.

∙Соответствие называется биекцией, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.

∙Образом множества А при данном соответствии называется

множество Г(В) = {у|(х,у)ϵ G и хϵ А}.

∙Прообразом множества В при данном соответствии называется множество Г-1 (В) = {х|(х,у)ϵ G и уϵ В}.

∙Множества называются равномощными, если между ними можно установить биекцию.

∙Множество называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел.

∙Множество называется континуальным, если оно равномощно множеству действительных чисел отрезка [0,1].

o5.2 Операции над соответствиями

∙ Поскольку соответствия можно считать множествами, то все операции над множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение и т.д.) можно применить и к соответствиям. Заметим, что, говоря о

58

дополнении соответствия из А в В, мы имеем в виду дополнение до

универсального соответствия из А в В, т.е. до декартова произведения А×В. Естественно, что и равенство соответствий можно трактовать как равенство множеств.

∙Объединением соответствий Γ1 = <X, Y, F>и Γ2 = <W, Z, P> называют соответствие Γ1 Γ2 = <X W, Y Z, F P>.

∙Пересечением соответствий Γ1 = <X, Y, F>и Γ2 = <W, Z, P> называют соответствие Γ1∩Γ2 = <X∩W, Y∩Z, F∩P>.

∙Разностью соответствий Γ1 = <X, Y, F>и Γ2 = <W, Z, P> называют соответствие Γ1\Γ2 = <X\W, Y\Z, F\P>

∙Инверсией соответствия Γ= <X, Y, F> является соответствие Г-1, такое, что множество Y является областью отправления соответствия Г-1; множество X является областью прибытия соответствия Г-1, а график соответствия F-1 является инверсией графика F соответствия Г.

∙Композицией (произведением) соответствий Γ1 = <X, Y, F>и Γ2 = <W, Z, P>называют соответствие Γ1·Γ2 = <X, Z, F·P>. Поясним построение композиции двух соответствий. Областью отправления является область отправления Γ1, областью прибытия – область прибытияΓ2, а графиком – композиция графиков F и P.

∙В случае, если Y∩W = Ø, то результатом композиции

соответствий будет соответствие с пустым графиком.

59

∙Соответствие Ω называется инверсией соответствия Г, если область отправления Г равна области прибытия Ω и график Г является инверсией графика Ω.

∙Четная инверсия оставляет соответствие самим собой, а нечетная

–инвертирует. То есть (Г-1)-1= Г, а ((Г-1)-1)-1 = Г-1. Соответствие Г-1= Г тогда и только тогда, когда график соответствия симметричен G=G-1, а область отправления соответствия совпадает с областью прибытия.

∙Пример. Г =<G, X, Х>, X = {1,2, 3}, G = {< 1,1>< 2, 2 >}. Графическое представление этого соответствия:

∙

∙ Для соответствия так же, как для отношений и множеств справедлива операция композиции. Композиция соответствий определяется через композицию их графиков. Композиция соответствий не является

пустой, если существует хотя бы один элемент у Y& у Z. Пусть заданы

соответствия Γ1 = <G, X, Y>и Γ2 = <H, Z, U>. Тогда Γ1·Γ2= <G·H. X, U>- определяет композицию двух соответствий.

∙Например, пусть заданы множества X = {a, b}, Y = {с, d} Z = {d, е} U = <k, l>. Для получения непустого результата композиции соответствий множество Z должно частично или полностью совпадать с множеством Y

∙Для любых трех соответствий существует следующее правило композиции:

∙(Γ1·Γ2)·Γ3=Γ1· (Γ2·Γ3)

∙Докажем это тождество.

60