∙Тогда композиция графиков этих отношений равна Ф3 = Ф1 Ф2 =

{<1,1>, <1, 3>,<1,2>, <3,2>, <3,1>}.

∙Отметим, что все операции над отношениями могут выполняться только на одной и той же области задания, и в результате выполнения операций снова получается отношение с той же самой областью задания

∙Введем операцию, меняющую область задания отношений.

∙Пусть φ =<Ф, М>, и А М, тогда сужением отношения φ на

множестве А называется новое отношение

∙φ1 = <Ф∩A2, A>

∙Например, φ =<Ф, М>, М={ 1,2,3}, Ф = {<1, 1>,<1, 2>, <1, 3>}, A

={1,2}. Тогда φ1 = <{<1,1>,<1,2>},{1,2}>.

o4.4 Отношение эквивалентности

эквивалентности на множестве X людей. Рефлексивность. Каждый человек такого же роста, как он сам. Симметричность. Сидоров одного роста с Петровым тогда и только тогда, когда Петров одного роста с Сидоровым. Транзитивность. Если Сидоров одного роста с Петровым, а Петров одного роста с Ивановым, то Сидоров одного роста с Ивановым.

50

∙Пример 2. Отношение обычного равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности.

∙Пример 3. Отношение х < у на множестве действительных чисел не есть отношение эквивалентности, так как оно не рефлексивно, не симметрично, а лишь транзитивно.

∙Если для бинарного отношения потребовать только выполнения свойств рефлексивности и симметричности, а транзитивности не требовать,

то получим другой тип отношения. Оно называется отношением толерантности и является формализацией случая, когда два элемента множества не сходны, а только почти сходны (похожи).

∙ Подмножество [х] = {у X: у ~ х} называется классом

эквивалентности, содержащим x (это множество всех элементов X,

эквивалентных данному элементу x). Любой элемент у [x] называется

представителем этого класса.

∙ Пример. Рассмотрим отношение принадлежности к одной студенческой группе. Классом эквивалентности является все множество студентов одной группы.

∙Теорема 1. Пусть R — отношение эквивалентности на множестве

X. Тогда:

∙1) для х X имеем х [x];

51

∙2) если х, у X и xRy, то [х] = [у].

∙Другими словами, класс эквивалентности порождается любым своим элементом.

∙Доказательство. Воспользуемся рефлексивностью отношения

эквивалентности R, т. е. xRx. Следовательно, по определению, х [х].

∙ Пусть z [у]. Тогда yRz, и в силу транзитивности отношения

эквивалентности имеем: из xRy и yRz справедливо xRz, т. е. z [х]. Отсюда [у]

[х].

∙Аналогично в силу симметричности R получаем [х] [у].

Следовательно, [х] = [у].

52

∙Пример 3.Теперь рассмотрим множество Х1× Х2 и попробуем задать на этом множестве отношение порядка, т. е. введем сравнение между парами элементов из Х1 и 1 Х2 . При этом пусть <Х1,R1> и <Х2, R2> — упорядоченные множества.

∙Это можно сделать, например, так. Определим отношение П условием: (a1,a2)П(b1,b2) ↔a1R1b1 ,a2R2b2 . Получится отношение порядка на Х1× Х2.

∙ Такое отношение рефлексивно, так как a1R1a1 ,a2R2a2 и, следовательно, (a1,a2)П(a1,a2).

∙Далее П антисимметрично, так как (a1,a2)П(b1,b2) , (a1,a2) П (a1,a2) следует (a1,a2) = (b1,b2). В самом деле, из a1R1b1, b1R1a1 получаем a1= b1, а из a2R2b2, b2R2a2 следует a2 = b2.

∙Это отношение также и транзитивно. Пусть (a1,a2)П(b1,b2),

(b1,b2)П(c1,c2).

∙Отсюда (a1,a2)П(c1,c2), так как a1R1b1, b1R1c1 влечет a1R1c1, а a2R2b2, b2R2c2 – a2R2c2.

∙Такое отношение порядка называется отношением Парето.

∙Множество, на котором определено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным. Множество, на котором определено отношение полного порядка, называется вполне упорядоченным.

∙Пример. Множество чисел упорядочено линейно, а булеан упорядочен частично.

∙Элемент х множества М с отношением порядка называется

минимальным, если не существует меньших элементов: ¬ уϵМ у х & у≠х.

54

∙Элемент аϵМ называется максимальным в упорядоченном

множестве М, если из а х следует х = а. Всякий наибольший элемент

является максимальным. Обратное неверно.

∙Пример. Пустое множество Ø является минимальным элементом булеана по включению.

∙Теорема. Во всяком конечном непустом частично упорядоченном множестве существует минимальный элемент.

∙Доказательство.

∙От противного. Пусть ¬( х ϵ М ¬ у ϵМ у х).

∙Тогда xϵМ yϵMy x (ui)i=1∞ iui+1<ui&ui+1 ≠ui .

∙Поскольку |M| <∞, имеем i,ji<j&ui= uj.

∙Но по транзитивностиui ui+1 … uj ui+1 uj = ui.

55