Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных числам натурального ряда, т.е. сумма всех чисел вида 1/n, где n - натуральное число, изменяющееся от единицы до бесконечности.

Ряд назван гармоническим, так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних.

Гармонический ряд это 1+1\2+1\3+1\4…и так далее, где 1, 2, 3, 4, ... - натуральные числа, они стоят по порядку в знаменателе гармонического ряда.

Сумма первых n членов ряда

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но предполагается, что сумма всех его членов расходится, т.е. что n-ное гармоническое число больше n-ного натурального. n-ной частичной суммой sn гармонического ряда называется n-ное гармоническое число, представляющее собой только сумму n первых членов гармонического ряда.:

Некоторые значения частичных сумм (например: для случая 1 слагаемого и 5-ти первых членов):

S1 = 1; S5 = 137/60 = приблизительно 2,283

Теоретико-числовые свойства частичных сумм: для любых n > 1 сумма первых n членов ряда Sn будет дробным числом.

Формула Эйлера

В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда. Теоретико-числовые свойства частичных сумм Для любых n>1:,

где  — постоянная Эйлера — Маскерони, а  — натуральный логарифм.

При значение , следовательно, для больших n:

 — формула Эйлера для суммы первых n членов гармонического ряда.

Пример использования формулы Эйлера
			, (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

, где  — числа Бернулли.

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.

Теоретико-числовые свойства частичных сумм

Сходимость ряда

при

Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10⁴³ элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом:

,

частичная сумма которого, очевидно, равна:

Сходимость ряда

Предполагалось до 7 августа 2010 года, что при стремлении n к бесконечности Sn также стремится к бесконечности, оставаясь меньше соответствующего натурального числа.

Предполагалось также Гармонический ряд расходится очень медленно: чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1043 элементов ряда.

Сходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с числами натурального ряда: очевидно, что частичная сумма каждых n первых членов не может превышать такое же натуральное число n, которое равно числу членов гармонического ряда.

Рассмотрим известные доказательства не сходимости гармонического ряда

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые таким образом, чтобы сумма слагаемых в скобках была меньше 1/2. При этом получается ряд 1+1/2+1/2+...+1/2 +... :

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему

В приведенном доказательстве проигнорирован очевидный факт: количество членов гармонического ряда строго равно количеству натуральных чисел (по определению). А при группировке членов ряда, для того чтобы получить 1/2 каждый раз в скобки объединялось все больше и большее количество членов гармонического ряда: 1, 2, 4, ... т.е. 2^n соответственно.

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Альтернативное доказательство расходимости

Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :

Тогда, перегруппируя дроби, получим:

Вынесем из второй скобки :

Заменим вторую скобку на :

Перенесём в левую часть:

Подставим обратно вместо сумму ряда:

Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

не равно 0, т.к. каждая из скобок положительная.

Это означает, что S - есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию ее из обоих сторон равенства недопустимы.

Частичные суммы

n-ая частичная сумма гармонического ряда,

называется n-ым гармоническим числом.

Разница между n-м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме , не является целым^[3].

Связанные ряды

Ряд Дирихле

Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд^[1][4]

.

Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1^[4].

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана:

Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

Знакопеременный ряд

Первые 14 частичных сумм знакочередующегося гармонического ряда (чёрные отрезки), показывающие сходимость к натуральному логарифму от 2 (красная линия).

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:

Эта формула — частный случай ряда Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:

Это известно как ряд Лейбница.

Случайный гармонический ряд

Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел^[5][6] свойства случайного ряда

где s_n независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от на менее чем 10⁻⁴². Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.

«Истончённый» гармонический ряд

Ряд Кемпнера (англ.)

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80^[7]. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

Альтернативное доказательство расходимости

Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме S:

Тогда, перегруппируя дроби так, что в первую группу объединяются только 1 и дроби с нечетными знаменателями, а во вторую группу - только с четными, и когда вынесем из второй скобки 1/2 а потом заменим вторую скобку на S и перенеся S/2 в левую часть, а также подставив обратно вместо S сумму ряда, получим что сумма дробей с четными знаменателями равна сумме дробей с нечетными знаменателями +1.

Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

Это равенство, также очевидно, может быть и верно, так как одна вторая больше одной третьей, одна четвёртая больше одной пятой, и так далее. Таким образом, необходимо также доказать, что сумма ряда: 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ...

не равна 1.

В данном доказательстве также не учитывается тот факт, что каждому натуральному числу взаимно-однозначно соответствует только один член гармонического ряда.

в доказательствах расходимости гармонического ряда типа 1+1/2+1/3+1/4...1/n

нет никакого разумного начала явно видно, что каждый следующий член ряда меньше

предыдущего и стремится к 0 ,если такой ряд называют расходящимся то сходящихся рядов вообще нет

Частичные суммы

n-ая частичная сумма гармонического ряда, т.е. сумма только первых n членов ряда

называется n-ым гармоническим числом.

Разница между n-м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому число и никакое гармоническое число, кроме 1, не является целым числом.

Связанные ряды

Ряд Дирихле

Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд, состоящий из членов гармонического ряда, возведенных в степень меньше или равную 1, или в степень большую 1. Считается, что Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1.

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана от аргумента α.

Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, дзета-функции Римана от аргумента α=2 равна числу пи в квадрате деленному на 6 , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

Знакопеременный ряд Править

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью.

Его сумма равна натуральному логарифму 2:

Эта формула — частный случай Ряд Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса, известного как ряд Лейбница.

Отметим, что если сходится гармонический ряд, то, естественно сходится и любой другой знакопеременный ряд, состоящий только из членов гармонического ряда.

Случайный гармонический ряд

Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел свойства случайного ряда, в котором числители слагаемых ряда sn независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что эта сумма с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от 1/8 на менее чем 10−42. Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.

«Истончённый» гармонический ряд

Ряд Кемпнера (англ.)

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80, точнее — к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться.

Учитывая сходимость Ряда Кемпнера можно предположить что сходимость гармонического ряда хотя пока и не доказана, но имеет место быть!

В пользу сходимости гармонического ряда свидетельствует и такой мысленный эксперимент: запишем три столбца,

№ п/п строки Частичная Сумма гармонического геометрическая прогрессия с коэффициентом,

(натуральное) ( ряда, до члена 1/n ) например ((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256)

1 1 ((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256) 2 1+1/2 +((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256)^2 3 1/3+1/2+1 +((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256)^3 . . ... . 256 1+1/2+1/3 + ...+ 1/256 +((256 в степени 256)-1)/(256 в степени 256)^256 ... (256 в степени 256) 1+1/2+...+1/(256^256) +((256^256)-1)^(256-1)^256)) ^((256^256)-1)^(256-1)^256))

(256 в степени 256) +1)) .... ...

...

Очевидно, что для любого натурального, стремящегося к бесконечности, всегда найдется такое натуральное+1, которое будучи разделенным на то же самое натуральное +2 даст такой коэффициент, который будет меньше единицы и обеспечит сходимость суммы членов ряда геометрической прогрессии, каждый из которых заведомо меньше соответствующего (с таким же номером), члена гармонического ряда.

 Леонард Эйлер

Этот великий ученый несомненно являлся центральной фигурой в науке XVIII столетия, и мы прежде всего познакомимся с его жизненным путем и творчеством.

Научная деятельность Эйлера продолжалась без перерыва почти шестьдесят лет. С 1726 г. по 1783 г. он вел исследования во всех областях математики и механики XVIII в., а кроме того, во многих отелах астрономии, физики и техники. Его перу принадлежит около 850 научных трудов, среди них примерно два десятка объемистых монографий в одном двух и трех томах. Издание полного собрания его сочинений в трех сериях и более чем в семидесяти томах, начатое в 1911 г., еще не вполне закончено; в него не входят еще многие сотни сохранившихся научных писем Эйлеранередко представляющих собой небольшие статьи, - их предполагается издать в виде четвертой серии. Эйлер был не только величайшим математиком своего времени, которое по всей справедливости можно было бы наименовать в истории физико-математических наук «веком Эйлера» но и крупным организатором работ двух больших академий: Петербургской и Берлинской.

Леонард Эйлер(1707-1783) родился в Базеле и первые уроки математики получил от отца, пастора Пауля Эйлера (1670-1745), обучавшегося этому предмету у И. Бернулли и в 1688 г. защитившего диссертации по теории отношении и пропорций. Отец предназначал сына также в пасторы, но склонность к математике взяла верх. В годы занятий в Базельском университете (1720-1724) Леонард Эйлер дополнительно изучал математику и механику под руководством Иоганна Бернулли. В 1725-1726 гг. молодой дилер выступил с первыми самостоятельными работами об изохронных кривых в сопротивляющейся среде, об одном специальном виде траектории, о наилучшем расположении мачт па корабле (эта работа представленная на конкурс Парижской академии, была принята к печати, хотя и не получила премии), о звуке. Диссертация о звуке была написана в связи с намерением Эйлера участвовать в конкурсе на вакансию профессора физики в Базельском университете. Должности здесь замещались тогда путем жребия среди отобранных кандидатов. Эйлер не был допущен к жеребьевке, вероятно, по молодости. Как пишет его швейцарский биограф О. Шпис, это было для Эйлера счастьем: в то время перед ним открылась более широкая перспектива деятельности.

Действительно, делая попытку устроиться на родине, Эйлер уже имел приглашение в Петербургскую академию наук, которое ему выхлопотали работавшие в ней с 1725 г. сыновья его наставника Даниил и Николай II Бернулли. Эйлер последовал этому приглашению и весной 1727 г. Приехал в русскую столицу. Вначале предполагалось, что он займет свободную должность адъюнкта, т. с. младшего академика, по физиологии с тем, чтобы применить к этой науке математические методы. Перед поездкой Эйлер несколько месяцев штудировал анатомию и медицину, к которым, впрочем, не имел никакого призвания. Но в Петербурге все уладилось наилучшим образом: ему предоставили возможность работать в области математических наук. Несколько позднее это было оформлено официально. В январе1731 г. Эйлер получил место профессора, т. е. академика по физике, а летом 1733 г. заместил уехавшего Д. Бернулли на кафедре математики.

В благоприятных условиях крупной академии, в регулярном общении с другими учеными -- математиками, механиками, астрономами, физиками -- гениальность Эйлера быстро проявилась во всей полноте. Человек исключительной энергии, он принял активное участие в различных академических мероприятиях, требовавших применения математики: составлении географических карт, различных технических экспертизах, решении многочисленных задач кораблестроения и кораблевождения, в составлении учебных руководств и отзывов на поступавшие сочинения и т. д.

В задачах практики рождались стимулы и для многих теоретических исследований Эйлера, которые составляли главный предмет его неустанных размышлений.

Частью еще в Базеле, но главным образом в первые годы жизни в Петербурге Эйлер наметил обширную программу исследований по математике и механике, которую успешно осуществлял, постоянно ее дополняя, до самых последних дней. Открытия его, печатавшиеся в академических «Записках» со второго их тома за 1727 г. (1729) и нередко получавшие известность еще до публикации благодаря его научной переписке, вскоре привлекли внимание ученого мира Европы. Слава его росла из года в год. Это своеобразно выразил в своих письмах к Эйлеру его прежний наставник Иоганн Бернулли, именуя его в 1728 г. «ученейшим и даровитейшим юным мужем», в 1731 г. «славнейшим и ученейшим господином профессором, дражайший другом» и, наконец, в 1710 г. «главой математиков»(Mathematicorum princeps). В это время Эйлер был членом двух академии -- Петербургской и Берлинской. Несколько спустя его избрали своим иностранным членом Лондонское королевское общество (1749) и Парижская академия наук (1755).

Эйлер прожил в Петербурге 14 лет, отмеченных основоположными исследованиями в теории рядов, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении, теории чисел, динамике точки, теории музыки, в корабельной науке. Только часть подготовленных им в то время рукописей была тогда издана; за эти годы их вышло около 55, в том числе двухтомная «Механика» (1736). Летом 1741 г. Эйлер переехал в Берлин, куда его пригласи! прусский король Фридрих II, желавший поднять на высокий уровень деятельность Берлинской академии наук, влачившей при его предшественнике самое жалкое существование. Эйлер принял приглашение, так как в регентство Анны Леопольдовны, правившей с ноября 1740 г. но декабрь 1741 г., в Петербурге сложилась весьма неустойчивая и беспокойная политическая обстановка, отражавшаяся и на положении дел в Академии наук.

Возглавляя Математический класс в качестве его директора, а в отсутствие президента Мопертюи и ряд лет после его смерти и всю работу Берлинской академии, Эйлер вместе с тем сохранил звание почетного члена Петербургской академии (с постоянной пенсией), фактически же оставался ее иногородним действительным членом. Сил его хватало для совершенно полноценного «совместительства» в двух академиях, свои сочинения он публиковал почти поровну в изданиях обеих и даже обе вместе они не справлялись с своевременной публикацией неиссякаемого потока его трудов. Помимо того, что он выполнял поручения прусского правительства по гидротехнике, баллистике, организации лотерей и проч., он редактировал математические отделы берлинских и петербургских академических записок, годами руководил занятиями живших у него на квартире молодых русских ученых -- С.К. Котельникова, С.Я. Румовского, М. Софронова (1729--1760), участвовал в организации научных конкурсов обеих академий, вел живую переписку с немецкими университетскими профессорами и петербургскими академиками, в том числе М.В. Ломоносовым, подыскивал для нашей академии сотрудников, закупал для нее инструменты и книги. Силы Эйлера в зрелые годы кажутся неистощимыми. Продолжая осуществлять планы, намеченные в Петербурге, подготовляя или завершая фундаментальные трактаты по всем отделам анализа, он включает в круг занятий новые вопросы алгебры и теории чисел, эллиптические интегралы, уравнения математической физики, тригонометрические ряды, дифференциальную геометрию поверхностей, задачи топологии, механику твердого тела, гидродинамику, теорию движения Луны и планет, оптику, магнетизм и в каждой из перечисленных областей получает значительные и нередко первостепенные результаты.

В это же время Эйлеру пришлось участвовать в нескольких важных дискуссиях, из которых мы назовем, по крайней мере, три:

1) знаменитый спор по природе функций, входящих в решение дифференциального уравнения колеблющейся струны, в котором участвовали, кроме него, сперва Даламбер и Д. Бернулли, а затем втянулись и другие крупнейшие математики;

2) спор с Даламбером о логарифмах отрицательных чисел и, наконец,

3) спор с английским оптиком Доллондом в котором Эйлер доказывал в противовес своему оппоненту возможность построения ахроматических объективов.

На годы берлинской жизни приходится издание таких больших монографий Эйлера, как «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума» (Лозанна--Женева, 1744), «Новые принципы артиллерии» (Берлин, 1745) двухтомное «Введение в анализ бесконечных» (Лозанна, 1748), двухтомная «Морская наука» (Петербург,1740), изданные в Берлине за счет Петербургской академии «Теория движения Луны» (1753), «Дифференциальное исчисление» (1755) и «Теория движения твердых тел» (Росток--Грейфсвальд, 1705) -- в общей сложности всего около 260 работ.

Петербургская академия не раз ставила перед Эйлером вопрос о его возвращении. В 60-е годы отношения между Эйлером и Фридрихом II, и ранее не питавшими взаимной симпатии, резко ухудшились. Эйлер, швейцарский бюргер, воспитанный в протестантской традиции, и Фридрих II, прусский абсолютный монарх, поклонник вольтерианского вольнодумства, расходились в очень многом, в том числе и в отношении к математике, которая была для Эйлера делом всей его жизни и в которой король, почти вовсе не знавший ее, ценил только непосредственные и немедленные практические приложения.

После смерти в 1759 г. Мопертюи король предложил место президента Даламберу, а когда тот отказался, поручил Эйлеру управлять академией без президентского титула и под своим личным руководством. Разногласия в некоторых финансовых и административных вопросах повлекли за собой разрыв между ученым и королем. Используя свое швейцарское подданство и поддержку русского правительства, Эйлер добился отставки и летом 1760 г. навсегда вернулся в Петербург.

Идейный порыв Эйлера в молодые и зрелые лета продолжал давать великолепные результаты и в старости. Добавим, что около 300 статей и фрагментов увидело свет уже после его смерти.

При всем многообразии интересов Эйлера центральное место в них принадлежит анализу. Из 30 томов математической серии его собрания сочинений 19 отведено анализу, за этим идут теория чисел, геометрия, алгебра и комбинаторика с теорией вероятностей. К тому же большинство геометрических работ Эйлера посвящено исследованию кривых и поверхностей с помощью алгебры и исчисления бесконечно малых, а многие труды его по механике (их также 30томов) содержат новые математические приемы решения дифференциальных уравнений, интегрирования функций и т. д. В наших курсах анализа большое число формул и методов до сих пор носит имя Эйлера, и оно встречается, пожалуй, чаще других имен. По, помимо отдельных приемов и формул, мы обязаны Эйлеру основанием нескольких больших дисциплин, которые лишь в зачаточной форме существовали ранее: теории дифференциальных уравнений -- обыкновенных и с частными производными, вариационного исчисления, элементарной теории функций комплексного переменного. И он же положил начало теории суммирования рядов, разложениям функций в тригонометрические ряды, теории специальных функций и определенных интегралов, дифференциальной геометрии поверхностей и, наконец, теории чисел, как особой науке.

В речи памяти Эйлера, произнесенной в Парижской академии наук, Кондорсе, описывая последние часы жизни Эйлера, сказал, что он кончил «вычислить и жить». Эйлер, в самом деле, был неутомимым «вычислителем» как в узком, так и в широком смысле слова и, пожалуй, как никто, владел техникой расчетов. Эта особенность его гения отвечала потребности науки того времени, особенно нуждавшейся в быстром развитии формального аналитического аппарата. Но Эйлер был и мыслителем, внесшим огромный вклад в разработку фундаментальных идей математики, без чего также невозможно было се развитие, таких, как понятия числа, функции, функционала, суммы ряда, интеграла, решения дифференциального уравнения и т. д.

Вместе с тем оп создавал новую алгебраически-арифметическую архитектуру анализа. Правда, Эйлер уступал в построении обобщающих концепций более молодому Лагранжу, который ярче отразил в своей теории аналитических функций и аналитической механике духовные устремления эпохи просвещения, в других сферах мышления приведших к созданию новых больших философских, исторических, социально-политических систем. Не следует, однако, забывать, что Лагранж во многом непосредственно следовал за Эйлером, углубляя и совершенствуя его методы и концепции.

Влияние Эйлера было исключительно велико. Лаплас повторял молодым математикам: читайте Эйлера, он наш общий учитель. Прямых учеников у Эйлера было немного, по его труды были настольными в XVIII в. и далеко за его пределами для всех творческих математиков, а работу многих он непосредственно направлял путем переписки. Эйлер охотно и щедро делился своими мыслями и к нему применимы слова, сказанные Фонтенелем о Лейбнице: «он любил наблюдать, как расцветают в чужом саду растения, семена которых он сам доставил».

Можно сделать вывод о том, что влияние Эйлера было очень велико.

эйлер математика физика астрономия

Эйлер и независимо от него, Маклорен открыли общий прием суммирования, примерами которого являются результаты Ньютона и Стирлинга и который выражает частную сумму бесконечного ряда s_n = ? u (k) через другой ряд, члены которого содержат общий член u (n), его интеграл и производные. Впервые Эйлер привел формулу суммирования без доказательства и примеров употребления в работе 1732 г. «Общий метод суммирования рядов» (Methodus generalis summandi progressiones. Commentarii, (1732 --1733) 1738), вывод ее дан в статье «Отыскание суммы ряда по данному общему члену», представленной Петербургской академии в 1735 г. (Inventiosummae enjusque seriei ex dato termino generali. Commentarii, (1736-1741).

Мы упоминали эту статью в связи с тем, что в ней ряд Тейлора записал в дифференциальных обозначениях. Обозначая общий член ряда X и сумму его х членов S, Эйлер разложил S (х--1) в ряд Тейлора, а X в ряд, из которого затем получил выражение S через X и его производные. Для этого он представил dS/dx рядом с неопределенными коэффициентами вида, так что

(постоянная интегрирования удовлетворяет тому условию, что при х = 0 также X = 0 и S = 0). Далее он дифференцированием нашел выраженние для d²S/dx², d³S/dx³ и т. д. и подставил их, вместе с выражением для dS/dx, в разложение функции X, после чего, применяя метод неопределенных коэффициентов, получил уравнения, определяющие каждое из чисел б, в, г, д, е.... через все предшествующие (считая после первогоб); это позволяет последовательно вычислить

б = 1, в = ¹/₂, г = ¹/_l2,д = 0, е = - ¹/₇₂₀, и т. д.

Еще раньше Эйлер обнаружил, что отношение двух последовательных чисел Бернулли B_2n+2:B_2n c ростом индекса неограниченно возрастает по абсолютной величине (Commentarii, (1739-1750). Поэтому бесконечный ряд Эйлера--Маклорена, вообще говоря, расходится. Тем не менее, формула суммирования может доставлять превосходные приближения, если ограничиваться частными суммами ряда с надлежащим числом членов. В только что упомянутой статье Эйлер дал новый способ вычисления р, исходя из равенства arctg, приближенной замены интеграла на сумму и оценки разности arctg t - S по формуле суммирования.

Полагая t = 1, Эйлер получил и при n = 5 подсчитал 12 верных десятичных знаков. Особенности поведения ряда он охарактеризовал при этом исчерпывающим образом и указал, что для приближенного вычисления следует взять сумму тех первых членов ряда, которые убывают до наименьшего включительно. Он даже сделал попытку оценить в данном случае степень приближения по числу использованных членов и первому отброшенному члену, но приведенную им оценку не обосновал.

Асимптотические ряды получили важные применения также у Лагранжа, Лапласа, Лежандра, который назвал эти ряда полусходящимися (series demi-convergentes), и других ученых. Впоследствии их изучали Коши, Пуассон, которые дали первые выражения остаточного члена, Якоби, Лобачевский, Остроградский и т. д. В широком плане к построению теории асимптотических разложений приступил Л. Пуанкаре (1886).Сама формула суммирования Эйлера -- Маклорена является теперь однойиз основных в теории конечных разностей и ее приложениях.

2.2 Задача о колебаниях струны. Волновое уравнение (решение Эйлера).

Уже через год после появления первых работ Даламбера о струне Эйлер опубликовал статью «О колебании струны» (Sur la vibration descordes. Mem. Ac. Berlin, (1748) 1750), существенно углубившую анализ проблемы, о чем будет сказано далее.

В только что названной статье Эйлер сначала выводит уравнение (1) колебания струны. Затем он формулирует требование отыскания общего решения этого уравнения при произвольно заданной фигуре струны. О начальной скорости струны прямо не говорится, но из дальнейших выкладок вытекает, что она считается равной пулю. При этих условиях Эйлер нашел решение, которое, по его собственному признанию, по форме существенно не отличается от решения Даламбера. Эйлер решил уравнение (1) при любом постоянном а, и потому его решение имеет вид

у = ц (х + at) + ш(х - at),(2)

где ц и ш -- функции, определяемые из граничных и начальных условий задачи так же, как это сделано у Даламбера.

В 1766 г. Эйлер предложил новый метод решения уравнения колебании струны, вошедший затем в третий том его «Интегрального исчисления» (1770), а позднее -- во все учебники по дифференциальным уравнениям. Вводя новые координаты:

u= х + at, v = х - at,

он преобразовал уравнение (1) колебания струны к легко интегрируемому виду

По современной терминологии координаты u и v Эйлера называются характеристическими. В этих координатах от вторых производных функции остается только смешанная производная.

Эйлер первый понял, что уравнение колебания струны отражает процесс распространения волн. Волной при этом называют процесс передвижения отклонения какой-либо точки струны по струне2.3 Обобщение Эйлером теоремы Ферма

В последней статье Эйлер обобщил теорему Ферма, установив (в обозначениях, ведущих свое происхождение от Гаусса), что

a^ц(m) ? 1 (mod m),

где ц(m) есть число чисел, взаимно простых с m и меньших m.Встречающееся здесь число ц (m), которое по предложению Гаусса называют теперь «функцией Эйлера», последний представил в той же работе в виде

ц (m)=m(1-1/p) (1-1/p^,)…,

где р, p^,,… -- простые делители числа m. Если m само есть простое число, то числа 1, 2, 3,..., (р - 1) будут с ним взаимно простыми, и получается важная теорема, высказанная Дж. Вильсоном и опубликованная в 1770 Варингом в его «Алгебраических размышлениях».Теорема эта гласит, что величина 1*2*3... (р-1)+1 делится без остатка на p, где р, как и всюду здесь, -- простое число. Эта теорема, как и теорема Ферма, заключается в установленном Лагранжем общем сравнении

x^p-1 - 1 ? (x + l) (x + 2)...(x + р - 1) (mod р)

при x = 0. Она была также доказана Эйлером («Аналитические сочинения», I, 1783) и Гауссом («Арифметические исследования», 1801). Упрощенное доказательство теоремы Ферма дал еще И.Г. Ламберт, охотно занимавшийся и теорией чисел (Nov. Acta Enid., 1769).

К важнейшим достижениям в исследовании целых чисел Эйлера привели старания доказать другую, упоминавшуюся уже, теорему Ферма о том, что всякое простое число вида 4т + 1 разбивается на сумму двух квадратов. Эйлер многократно и с различных сторон подходил к этой теореме и при этом нашел ряд интересных предложений. Окончательно доказать ее Эйлеру удалось лишь в 1749 [Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760)], воспользовавшись тем ходом мыслей, которым он шел в первом доказательстве теоремы о сравнении а^m ? 1 (mod р). Это привело его к рассмотрению остатков от деления квадратов 1², 2², З²,..., (р--1)²на простое число р. Эйлер немедленно увидел, что при этом получаются «многие замечательные свойства, изучение которых проливает немало света на природу чисел». Таким образом, он впервые поставил вопрос о квадратичных вычетах и понял их значение. Здесь уже встречаются и термины: вычеты (residua) и невычеты (поп residua).

2.4 Формула Эйлера

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

e^ix = cosx + isinx

где e -- основание натурального логарифма, i -- мнимая единица.

Формула Эйлера впервые была приведена в книге «Гармония мер» английского математика, помощника Ньютона, Роджера Котса (1722 год, издана посмертно). Котс открыл формулу около 1714 года и выразил её в логарифмической форме:

ln(cosx + isinx) = ix

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя.

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число z в тригонометрической форме имеет вид

z = r(cosц + isinц)

На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

z = re^iц

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь

r = |z|, ц = argz

Сумма первых n членов ряда

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой sn гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:

s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n}

Некоторые значения частичных сумм

\begin{matrix}s_1 &=& 1 \\\\ s_2 &=& \frac{3}{2} &=& 1{,}5 \\\\ s_3 &=& \frac{11}{6} &\approx& 1{,}833 \\\\ s_4 &=& \frac{25}{12} &\approx& 2{,}083\end{matrix} \begin{matrix}s_5 &=& \frac{137}{60} &\approx& 2{,}283 \\\\ s_6 &=& \frac{49}{20} &=& 2{,}45 \\ \\s_7 &=& \frac{363}{140} &\approx& 2{,}593 \\\\ s_8 &=& \frac{761}{280} &\approx& 2{,}718\end{matrix}

Формула Эйлера

В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда[1]:

s_n = \ln(n) + \gamma + \varepsilon _n \!,

где \gamma = 0{,}5772... \! — постоянная Эйлера — Маскерони, а \ln — натуральный логарифм.

При n\rightarrow \infty \! значение \varepsilon _n \rightarrow 0 \!, следовательно, для больших n:

s_n\approx \ln(n) + \gamma — формула Эйлера для суммы первых n членов гармонического ряда.

Пример использования формулы Эйлера

n \! s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \! \ln(n) + \gamma \! \varepsilon _n \!, (%)

10 2,93 2,88 1,7

25 3,82 3,80 0,5

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \frac{1}{120n^4} - \frac{1}{252n^6} \dots = \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k\,n^{2k}}, где B_{2k} — числа Бернулли.

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.

Теоретико-числовые свойства частичных сумм

\forall n><span class=1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb{N}" border="0">

Сходимость ряда

s_n\rightarrow \infty при n\rightarrow \infty

Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1043 элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом:

v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\underset{+\infty}{\sim} \frac {1}{n},

частичная сумма которого, очевидно, равна:

\sum_{i=1}^{n-1} v_i= \ln n \sim H_n.

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

\begin{align}

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} =

1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\

& {} > <span class=1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad + \ \cdots. \end{align} " border="0">

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Альтернативное доказательство расходимости

Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме ~S:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots=S

Тогда, перегруппируя дроби, получим:

S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots\right)

Вынесем из второй скобки \tfrac{1}{2}:

S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\right)

Заменим вторую скобку на ~S:

S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)+\frac{1}{2}S

Перенесём \tfrac{1}{2}S в левую часть:

\frac{1}{2}S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots\right)

Подставим обратно вместо ~S сумму ряда:

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots= 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots

Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots не равно 0, т.к. каждая из скобок положительная.

Это означает, что S - есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию ее из обоих сторон равенства недопустимы.

Частичные суммы

n-ая частичная сумма гармонического ряда,

H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},\!

называется n-ым гармоническим числом.

Разница между n-м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме H_1=1, не является целым[3].

Связанные ряды

Ряд Дирихле

Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд[1][4]

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}=1 + \frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha} + \frac{1}{4^\alpha} + \cdots +\frac{1}{k^\alpha} + \cdots .

Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1[4].

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана:

\sum_{k=1}^\mathcal{1} \frac{1}{k^\alpha}=\zeta(\alpha)

Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}, а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

Знакопеременный ряд

Первые 14 частичных сумм знакочередующегося гармонического ряда (чёрные отрезки), показывающие сходимость к натуральному логарифму от 2 (красная линия).

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:

1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.

Эта формула — частный случай ряда Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:

\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}.

Это известно как ряд Лейбница.

Случайный гармонический ряд

Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел[5][6] свойства случайного ряда

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},\!

где sn независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от \frac{1}{8} на менее чем 10−42. Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.

«Истончённый» гармонический ряд

Ряд Кемпнера (англ.)

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80[7]. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

Католический богослов, епископ, один из наиболее известных французских философов и учёных XIV в биография

В 1348 г. Николай Орем впервые упоминается в документах Парижского университета в качестве члена нормандской университетской корпорации и магистра факультета искусств. В пятидесятых годах, вплоть до 1361 года, он преподает в Наваррской коллегии, причем с 1356 года получает звание grand maitre. К нему благосклонно относилась королевская семья, Николай Орем стал воспитателем дофина, будущего короля Франции Карла V.

В 1361 году Орем был архидиаконом в Байё, в 1362 г. — каноником в Руане. В 1370—1377 гг. по поручению короля Карла V он выполнил переводы с латинского на французский нескольких сочинений Аристотеля, снабдив их глоссами и комментариями, а именно: Никомаховой Этики (1370), Политики и Экономики (1374) и сочинения О небе (1377). В 1377 году он был выбран епископом Лизье, где и проживал до своей смерти.

Научная деятельность Физика

Некоторые выводы Николая Орема в области естествознания были по-настоящему революционны для своего времени. В противовес традиционной доктрине он признавал возможным в науке рассмотрение и обсуждение альтернативных решений. В написанной на французском языке «Книге о небе и мире» (Trait? du ciel et du monde) он обсуждает вопрос о возможности объяснения суточного вращения небесной сферы вращением Земли вокруг оси, в противовес постулатуАристотеля о вращении Неба. Такую возможность он находит весьма вероятной, поскольку с его точки зрения доводы Аристотеля в пользу неподвижности Земли были недостаточно убедительны: «Легче представить себе вращение самой Земли, чем вращение вокруг неё огромной звездной сферы». Он даёт следующее описание движения Земли при взгляде со стороны:

Орем последовательно рассматривает все доводы против вращения Земли, содержащиеся в трудах Птолемея, и находит их неправильными. Он делает вывод, что «никаким опытом нельзя доказать, что небо движется в своем дневном движении, а Земля остается неподвижной». При этом он рассматривает пример движущегося корабля:

Здесь внятно формулируется принцип относительности, причем в точности в том же виде, что у Галилея в XVII столетии. Тем не менее, окончательный вердикт Орема о возможности вращения Земли был отрицательным.

Новой для своего времени была идея Орема о том, что движение планет определено не Богом, сотворившим Землю, а равновесием природных сил. С другой стороны, Орем придерживался традиционных представлений о делении мира на подлунный и небесный.

Трактат Николая Орема «О конфигурации качеств» (De configuratione qualitatum) продолжает линию исследования переменных величин, заданную философами, входившими в группу оксфордских калькуляторов. В этом трактате Орем изобретает графическое представление для переменной величины, зависящей от пространственных координат либо от времени. Он изображает движение, откладывая по горизонтальной оси время, а по вертикальной — интенсивность движения в данный момент времени (то есть величину, которую впоследствии стали называть мгновенной скоростью). Он доказывает теорему о том, что тело, движущееся равноускоренным движением, проходит за данное время то же самое расстояние, которое прошло бы за это же время тело, движущееся равномерным движением со скоростью, равной средней скорости первого тела. Эти идеи Орема, равно как и мысленный эксперимент с движущимся кораблём, были впоследствии активно восприняты Галилеем.