Вариант № 460467 (база)

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: 14.

2. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  Ответ: 243.

3. При­зе­ра­ми го­род­ской олим­пи­а­ды по ма­те­ма­ти­ке стало 68 уче­ни­ков, что со­ста­ви­ло 20% от числа участ­ни­ков. Сколь­ко че­ло­век участ­во­ва­ло в олим­пиа­де?

По­яс­не­ние. Раз­де­лим 68 на 0,2 получим 340. Ответ: 340.

4. Зная длину сво­е­го шага, че­ло­век может при­ближённо под­счи­тать прой­ден­ное им рас­сто­я­ние s по фор­му­ле  , где   — число шагов,   — длина шага. Какое рас­сто­я­ние прошёл че­ло­век, если   см,   ? Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­мет­рах.

По­яс­не­ние. Найдём рас­сто­я­ние ко­то­рое прошёл че­ло­век: Пе­ре­ве­дем сан­ти­мет­ры в ки­ло­мет­ры: Ответ: 0,7.

5.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   при  .

По­яс­не­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния: . Ответ: 4096.

6. В уни­вер­си­тет­скую биб­лио­те­ку при­вез­ли новые учеб­ни­ки по об­ще­ст­во­зна­нию для двух кур­сов, по 130 штук для каж­до­го курса. Все книги оди­на­ко­вы по раз­ме­ру. В книж­ном шкафу 8 полок, на каж­дой полке по­ме­ща­ет­ся 30 учеб­ни­ков. Сколь­ко шка­фов можно пол­но­стью за­пол­нить но­вы­ми учеб­ни­ка­ми?

По­яс­не­ние. Узна­ем сколь­ко всего при­вез­ли учеб­ни­ков: Узна­ем сколь­ко учеб­ни­ков по­ме­стит­ся в один шкаф: Ясно, что пол­но­стью за­пол­нить учеб­ни­ка­ми, по­лу­чит­ся один шкаф. Ответ: 1.

7. Ре­ши­те урав­не­ние  . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

По­яс­не­ние. Воз­ве­дем в квад­рат:

Урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, он и яв­ля­ет­ся от­ве­том. Ответ: 6.

 При­ме­ча­ние.Можно было сде­лать про­вер­ку. Под­став­ляя число 6, по­лу­ча­ем вер­ное ра­вен­ство  , по­это­му число 6 яв­ля­ет­ся кор­нем. Под­став­ляя число −1, по­лу­ча­ем не­вер­ное ра­вен­ство  , по­это­му число −1 не яв­ля­ет­ся кор­нем.

8.  Функ­ция y = f (x) опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на от­рез­ке [−5; 5]. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик её про­из­вод­ной. Най­ди­те точку x₀, в ко­то­рой функ­ция при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, если  f (−5) ≥ f (5).

По­яс­не­ние.

На­пом­ним, что если функ­ция не­пре­рыв­на на от­рез­ке [a;b], а её про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на (от­ри­ца­тель­на) на ин­тер­ва­ле (a; b), то функ­ция воз­рас­та­ет (убы­ва­ет) на от­рез­ке [a; b]. Тем самым, функ­ция f, гра­фик про­из­вод­ной ко­то­рой дан в усло­вии, воз­рас­та­ет на от­рез­ках [−5; −3] и [3; 5] и убы­ва­ет на от­рез­ке [−3; 3]. Из этого сле­ду­ет, что f при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние на левой гра­ни­це от­рез­ка, в точке −5, или в точке ми­ни­му­ма х_min = 3. В силу воз­рас­та­ния f на от­рез­ке [3; 5] спра­вед­ли­во не­ра­вен­ство f (5) > f (3). По­сколь­ку по усло­вию f (−5) не мень­ше, чем f (5), спра­вед­ли­ва оцен­ка f (−5) > f (3). Тем самым, наи­мень­ше­го зна­че­ния функ­ция f до­сти­га­ет в точке 3. Гра­фик одной из функ­ций, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию, при­ведён на ри­сун­ке. Ответ:3.

При­ме­ча­ние Б. М. Бек­ке­ра (Санкт-Пе­тер­бург).Не­пре­рыв­ность функ­ции на кон­цах от­рез­ка су­ще­ствен­на. Дей­стви­тель­но, если бы функ­ция f имела в точке 5 раз­рыв пер­во­го рода (см. рис.), зна­че­ние f (5) могло ока­зать­ся мень­ше зна­че­ния f (3), а тогда наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке [−5; 5] яв­ля­лось бы зна­че­ние функ­ции в точке 5.При­ме­ча­ние пор­та­ла РЕШУ ЕГЭ. Мы были удив­ле­ны, об­на­ру­жив это за­да­ние в эк­за­ме­на­ци­он­ной ра­бо­те до­сроч­но­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.04.2014 г. Это не­про­стое за­да­ние от­сут­ству­ет в От­кры­тых бан­ках за­да­ний, что, не­со­мнен­но, ока­за­лось не­при­ят­ным сюр­при­зом для вы­пуск­ни­ков. При­ме­ча­ние Алек­санд­ра Ла­ри­на (Москва). В этой за­дач­ке весь ужас «вы­стре­лил вхо­ло­стую», 99,9999% ре­ша­ю­щих даже и не об­ра­тят вни­ма­ние на по­тен­ци­аль­ную угро­зу — ответ-то по­лу­ча­ет­ся такой же. А про со­от­но­ше­ние зна­че­ний на гра­ни­цах и уж тем более про не­пре­рыв­ность никто чи­тать и не со­би­ра­ет­ся :-) А вот если усло­вие слег­ка по­ме­нять, то «минус балл» всей стра­не обес­пе­чен будет.

9. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца.

ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ		ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ
А) масса ку­ри­но­го яйца Б) масса дет­ской ко­ляс­ки В) масса взрос­ло­го бе­ге­мо­та Г) масса ак­тив­но­го ве­ще­ства в таб­лет­ке		1) 2,5 мг 2) 14 кг 3) 50 г 4) 3 т

В таб­ли­це под каж­дой бук­вой, со­от­вет­ству­ю­щей ве­ли­чи­не, ука­жи­те номер её воз­мож­но­го зна­че­ния.

A	Б	В	Г

По­яс­не­ние. От лег­ко­го к тя­же­ло­му: таб­лет­ка (Г - 1), яйцо (А - 3), ко­ляс­ка (Б - 2) и бе­ге­мот (В - 4). Окон­ча­тель­но по­лу­чим 3241 Ответ: 3241.

10. На рок-фе­сти­ва­ле вы­сту­па­ют груп­пы — по одной от каж­дой из за­яв­лен­ных стран. По­ря­док вы­ступ­ле­ния опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что груп­па из Китая будет вы­сту­пать после груп­пы из Ка­на­ды и после груп­пы из Ан­глии? Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

 По­яс­не­ние. Общее ко­ли­че­ство вы­сту­па­ю­щих на фе­сти­ва­ле групп для от­ве­та на во­прос не­важ­но. Сколь­ко бы их ни было, для ука­зан­ных стран есть 6 спо­со­бов вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния среди вы­сту­па­ю­щих (Ки — Китай, Ка — Ка­на­да, А — Ан­глия):

 ...Ки...Ка...А..., ...Ки...А...Ка..., ...Ка...А...Ки..., ...Ка...Ки...А..., ...А...Ки...Ка..., ...А...Ка...Ки...

 Китай на­хо­дит­ся после Ка­на­ды и Ан­глии в двух слу­ча­ях. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что груп­пы слу­чай­ным об­ра­зом будут рас­пре­де­ле­ны имен­но так, равна Ответ: 0,33.

 

11. При дви­же­нии ра­ке­ты еe ви­ди­мая для не­по­движ­но­го на­блю­да­те­ля длина, из­ме­ря­е­мая в мет­рах, со­кра­ща­ет­ся по за­ко­ну  , где   м — длина по­ко­я­щей­ся ра­ке­ты,   км/с — ско­рость света, а   — ско­рость ра­ке­ты (в км/с). Ка­ко­ва долж­на быть ми­ни­маль­ная ско­рость ра­ке­ты, чтобы еe на­блю­да­е­мая длина стала не более 68 м? Ответ вы­ра­зи­те в км/с.

По­яс­не­ние. Най­дем, при какой ско­ро­сти длина ра­ке­ты ста­нет равна 68 м. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния   при за­дан­ном зна­че­нии длины по­ко­я­щей­ся ра­ке­ты   м и из­вест­ной ве­ли­чи­не ско­ро­сти света   км/с:

   км/с.

Если ско­рость будет пре­вос­хо­дить най­ден­ную, то длина ра­ке­ты будет менее 68 мет­ров, по­это­му ми­ни­маль­ная не­об­хо­ди­мая ско­рость равна 180 000 км/с. Ответ: 180 000.

12. За­да­ние 12 № 246377. Вася за­гру­жа­ет на свой ком­пью­тер из Ин­тер­не­та файл раз­ме­ром 30 Мб за 26 се­кунд. Петя за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 28 Мб за 27 се­кунд, а Миша за­гру­жа­ет файл раз­ме­ром 32 Мб за 27 се­кунд. Сколь­ко се­кунд будет за­гру­жать­ся файл раз­ме­ром 736 Мб на ком­пью­тер с наи­боль­шей ско­ро­стью за­груз­ки?

По­яс­не­ние. Ско­рость ин­тер­не­та Васи со­став­ля­ет   Мб/с.

Ско­рость ин­тер­не­та Пети со­став­ля­ет   Мб/с.

Ско­рость ин­тер­не­та Миши со­став­ля­ет   Мб/с.

 

По­сколь­ку  , с наи­боль­шей ско­ро­стью может ска­чать файл Миша. На ска­чи­ва­ние 736 Мб ему по­на­до­бит­ся  с. Ответ: 621.

13. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де      – се­ре­ди­на ребра  ,    – вер­ши­на. Из­вест­но, что  =7, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 42. Най­ди­те длину от­рез­ка  .

По­яс­не­ние. Най­дем пло­щадь грани  :  От­ре­зок   яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка  , а зна­чит, и его вы­со­той. Тогда Ответ: 4.

14. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 11-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 19-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

По­яс­не­ние. Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна  . Пусть масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра   Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

 

Ответ: 15.

15. Най­ди­те длину от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки A (−1; −12) и B (−11; 12).

По­яс­не­ние. Длина от­рез­ка опре­де­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим вы­ра­же­ни­ем:

  Ответ: 26.

16. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де   из­вест­но, что  ,  ,  . Най­ди­те длину ребра  .

По­яс­не­ние. Най­дем диа­го­наль   пря­мо­уголь­ни­ка   по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

  .Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

  . Ответ: 1.

17.. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний из пра­во­го столб­ца. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и мно­же­ства­ми их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА		РЕ­ШЕ­НИЯ
А)  Б)  В)  Г)

 Впи­ши­те в при­ведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую цифру. 

А	Б	В	Г

По­яс­не­ние. Решим не­ра­вен­ства.

А) 

Б) 

В) 

Г) 

 Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: А — 3, Б — 1, В — 2, Г — 4. Ответ: 3124.

18. Сред­ний балл вы­пуск­ни­ка школы, сдав­ше­го ЕГЭ по четырём пред­ме­там, со­став­ля­ет 75. Самый низ­кий ре­зуль­тат он по­ка­зал по ма­те­ма­ти­ке — 66 бал­лов (по осталь­ным эк­за­ме­нам баллы выше). Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых дан­ных.

1) Сред­ний балл по трём эк­за­ме­нам, кроме ма­те­ма­ти­ки, равен 78

2) Ми­ни­маль­ный балл по лю­бо­му из трёх пред­ме­тов, не счи­тая ма­те­ма­ти­ки, боль­ше 75

3) Ни по од­но­му пред­ме­ту вы­пуск­ник не по­лу­чил 100 бал­лов

4) По ка­ко­му-то пред­ме­ту вы­пуск­ник по­лу­чил боль­ше 76 бал­лов

 В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.По­яс­не­ние.1) Пусть   — оцен­ки по четырём пред­ме­там. Сред­ний балл по всем пред­ме­там равен: Сред­ний балл по трём эк­за­ме­нам, кроме ма­те­ма­ти­ки равен: